25-28 Demonstre cada uma das igualdades usando a definição precisa de limite.
26. \lim _{x \rightarrow 0} \sqrt[3]{x}=0

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição precisa de limite (ε–δ), que
\lim_{x\to0}\sqrt[3]{x}=0.
Aqui a ideia é mostrar que para todo \epsilon>0 existe \delta>0 tal que sempre que \lvert x-0\rvert<\delta então \bigl\lvert\sqrt[3]{x}-0\bigr\rvert<\epsilon.

Passo 2

Seja arbitrariamente dado \epsilon>0. Como
\bigl\lvert\sqrt[3]{x}-0\bigr\rvert = \lvert x\rvert^{1/3},
basta escolher
\delta = \epsilon^{3}.

Passo 3

Com \delta=\epsilon^{3}, sempre que 0<\lvert x\rvert<\delta temos
\lvert x\rvert^{1/3} < \delta^{1/3} = (\epsilon^{3})^{1/3} = \epsilon,
ou seja,
\bigl\lvert\sqrt[3]{x}-0\bigr\rvert < \epsilon.
Isso satisfaz a definição de \lim_{x\to0}\sqrt[3]{x}=0.

Resposta

Dado \epsilon>0, tomando \delta=\epsilon^{3} garante-se \lvert x\rvert<\delta\implies\lvert\sqrt[3]{x}\rvert<\epsilon. Portanto
\lim_{x\to0}\sqrt[3]{x}=0.

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