Seja
f(x)= \begin{cases}\sqrt{-x} & \text { se } x<0 \\\\ 3-x & \text { se } 0 \leqslant x<3 \\\ (x-3)^{2} & \text { se } x>3\end{cases}
(a) Calcule cada limite, se ele existir.
(b) Onde f é descontínua?
(c) Esboce o gráfico de f.
(i) \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)
(ii) \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)
(iii) \lim _{x \rightarrow 0} f(x)
(iv) \lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x)
(v) \lim _{x \rightarrow 3^{+}} f(x)
(vi) \lim _{x \rightarrow 3} f(x)

Passo 1

O enunciado define a função por partes:
f(x)= \begin{cases} \sqrt{-x},&x<0,\\\\ 3-x,&0\le x<3,\\\ (x-3)^2,&x>3. \end{cases}
Pede (a) os limites em x=0 (laterais e total) e em x=3 (laterais e total); (b) onde f é descontínua; (c) esboço do gráfico.

Passo 2

Calcular os limites em x=0. Para x\to0^+, usamos o ramo f(x)=3-x, logo
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(3-x)=3.
Para x\to0^-, usamos f(x)=\sqrt{-x}, e como -x\to0^+ ,
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}\sqrt{-x}=0.
Como as duas não coincidem, \lim_{x\to0}f(x) não existe.

Passo 3

Calcular os limites em x=3. Para x\to3^-, usamos f(x)=3-x, então
\lim_{x\to3^-}f(x)=\lim_{x\to3^-}(3-x)=0.
Para x\to3^+, usamos f(x)=(x-3)^2, e como x-3\to0,
\lim_{x\to3^+}f(x)=\lim_{x\to3^+}(x-3)^2=0.
Como os dois são iguais, \lim_{x\to3}f(x)=0.

Passo 4

Identificar descontinuidades:
– Em x=0: \lim_{0^-}f=0\neq3=\lim_{0^+}f, e f(0)=3, há salto.
– Em x=3: \lim_{x\to3}f=0 existe mas f(3) não está definido, é discontínuo por ponto removível.

Passo 5

Esboço do gráfico:
  • Para x<0: ramo decrescente de y=\sqrt{-x}, que tende a +\infty em x\to-\infty e a 0 em x\to0^-.
  • Em x=0: ponto fechado em (0,3).
  • Para 0\le x<3: reta de inclinação -1 ligando (0,3) até aproximar-se de (3,0) (aberto em x=3).
  • Para x>3: ramo de parábola y=(x-3)^2 com vértice em (3,0), mas sem incluir esse ponto.

Resposta

(i) \lim_{x\to0^+}f(x)=3
(ii) \lim_{x\to0^-}f(x)=0
(iii) \lim_{x\to0}f(x) não existe
(iv) \lim_{x\to3^-}f(x)=0
(v) \lim_{x\to3^+}f(x)=0
(vi) \lim_{x\to3}f(x)=0 f é descontínua em x=0 (salto) e em x=3 (ponto removível)
O gráfico é formado pelo ramo \sqrt{-x} em x<0, ponto em (0,3), reta decrescente em [0,3) e parábola em x>3.

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