25-28 Demonstre cada uma das igualdades usando a definição precisa de limite.
28. \lim _{x \rightarrow 4^{+}} \frac{2}{\sqrt{x-4}}=\infty

Passo 1

O enunciado nos pede demonstrar, usando a definição precisa de limite infinito, que:
\lim_{x \to 4^+} \frac{2}{\sqrt{x-4}} = \infty.
Isso significa mostrar que, para todo M>0, existe \delta>0 tal que, sempre que x>4 e \lvert x-4\rvert<\delta, temos
\frac{2}{\sqrt{x-4}}>M.

Passo 2

Suponha x>4 e \lvert x-4\rvert<\delta. Então 0<x-4<\delta, de onde
\sqrt{x-4}<\sqrt{\delta} \quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{\sqrt{x-4}}>\frac{2}{\sqrt{\delta}}.
Para garantir \frac{2}{\sqrt{\delta}}\ge M, basta escolher \delta de modo que
\sqrt{\delta}\le \frac{2}{M} \quad\Longleftrightarrow\quad \delta \le \frac{4}{M^2}.

Passo 3

Dado M>0, defina
\delta = \min\!\bigl(1,\tfrac{4}{M^2}\bigr).
Então \delta>0 e, se x>4 com \lvert x-4\rvert<\delta, conclui-se
\frac{2}{\sqrt{x-4}}>\frac{2}{\sqrt{\delta}}\ge \frac{2}{\sqrt{4/M^2}}=M.
Isso satisfaz exatamente a condição da definição de limite infinito pela direita.

Resposta

Portanto, pela definição precisa, \displaystyle \lim_{x\to 4^+}\frac{2}{\sqrt{x-4}}=\infty.

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