31-32 Mostre que cada função é contínua em seu domínio. Diga qual é o domínio.
31. h(x)=x e^{\operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função
h(x)=x\,\mathrm{e}^{\operatorname{sen}x}
é contínua em seu domínio e que identifiquemos esse domínio. O que vamos usar é que funções elementares como a identidade, o seno e a exponencial são contínuas em todo \mathbb{R}, e que produto e composição de funções contínuas continuam sendo contínuas.

Passo 2

Vamos decompor h em duas funções mais simples:
f(x)=x, \qquad g(x)=\mathrm{e}^{\operatorname{sen}x},
de modo que
h(x)=f(x)\cdot g(x).
O domínio de h será a interseção dos domínios de f e de g.

Passo 3

A função identidade f(x)=x é contínua em todo \mathbb{R}, pois para cada a\in\mathbb{R} vale
\lim_{x\to a}f(x) =\lim_{x\to a}x =a =f(a).

Passo 4

A função seno, \operatorname{sen}x, é contínua em todo \mathbb{R}. Como a exponencial \mathrm{e}^t é contínua para todo t\in\mathbb{R}, a composição
g(x)=\mathrm{e}^{\operatorname{sen}x}
também é contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 5

Como tanto f quanto g são contínuas em \mathbb{R}, o produto
h(x)=f(x)\cdot g(x)
é contínuo em cada ponto de \mathbb{R}, pois produto de funções contínuas é contínuo no domínio comum.

Passo 6

O domínio de f é \mathbb{R} e o domínio de g é também \mathbb{R}. Logo, o domínio de h é
\mathbb{R}\,\cap\,\mathbb{R}=\mathbb{R}.

Resposta

A função h(x)=x\,\mathrm{e}^{\operatorname{sen}x} é contínua em todo \mathbb{R}. O domínio de h é \mathbb{R}.

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