31-32 Mostre que cada função é contínua em seu domínio. Diga qual é o domínio.
31.
31.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a função
é contínua em seu domínio e que identifiquemos esse domínio. O que vamos usar é que funções elementares como a identidade, o seno e a exponencial são contínuas em todo
, e que produto e composição de funções contínuas continuam sendo contínuas.
Passo 2
Vamos decompor
em duas funções mais simples:
de modo que
O domínio de
será a interseção dos domínios de
e de
.
Passo 3
A função identidade
é contínua em todo
, pois para cada
vale
Passo 4
A função seno,
, é contínua em todo
. Como a exponencial
é contínua para todo
, a composição
também é contínua em todo
.
Passo 5
Como tanto
quanto
são contínuas em
, o produto
é contínuo em cada ponto de
, pois produto de funções contínuas é contínuo no domínio comum.
Passo 6
O domínio de
é
e o domínio de
é também
. Logo, o domínio de
é
Resposta
A função
é contínua em todo
. O domínio de
é
.