25-32 Explique, usando os Teoremas 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.
15.
.
16.
15.
16.
Passo 1
O objetivo é mostrar que
-
é contínua em todo ponto de seu domínio, e -
é contínua em todo ponto de seu domínio,
usando os Teoremas 4, 5, 7 e 9.
Passo 2
Análise de
:
- Pelo Teorema 4, a função identidade
e qualquer função constante são contínuas. - Pelo Teorema 5, produto por constante e soma de funções contínuas geram funções contínuas. Logo
é contínua e, somando 3, também é contínua. - Ainda pelo Teorema 5,
é contínua. - Como em
temos , vale o Teorema 9 (quociente de funções contínuas com denominador não nulo é contínuo), de modo que é contínua em todo .
Passo 3
Análise de
:
- Pelo Teorema 5,
(constante menos identidade) é contínua. - A função raiz quadrada
é contínua em (Teorema 4). - Pelo Teorema 7 (composição de funções contínuas),
é contínua sempre que . - Multiplicando por 2 (Teorema 5) obtemos
contínua em todos os tais que , ou seja, em .
Resposta
- O domínio de
é e é contínua em todo esse intervalo. - O domínio de
é e é contínua em todo esse intervalo.