25-32 Explique, usando os Teoremas 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.
15. f(x)=2 x+3x-2, (2, infty).
16. g(x)=2 raiz3-x, (-infty, 3]

Passo 1

O objetivo é mostrar que
  1. f(x)=2x+3x-2 é contínua em todo ponto de seu domínio, e
  2. g(x)=2raiz3-x é contínua em todo ponto de seu domínio,
    usando os Teoremas 4, 5, 7 e 9.

Passo 2

Análise de f(x)=2x+3x-2:
  • Pelo Teorema 4, a função identidade id(x)=x e qualquer função constante são contínuas.
  • Pelo Teorema 5, produto por constante e soma de funções contínuas geram funções contínuas. Logo
    h(x)=2x é contínua e, somando 3, 2x+3 também é contínua.
  • Ainda pelo Teorema 5, d(x)=x-2 é contínua.
  • Como em (2,infty) temos d(x)neq0, vale o Teorema 9 (quociente de funções contínuas com denominador não nulo é contínuo), de modo que f(x)=2x+3x-2 é contínua em todo (2,infty).

Passo 3

Análise de g(x)=2raiz3-x:
  • Pelo Teorema 5, h(x)=3-x (constante menos identidade) é contínua.
  • A função raiz quadrada raizu é contínua em [0,infty) (Teorema 4).
  • Pelo Teorema 7 (composição de funções contínuas), raizh(x) é contínua sempre que h(x)>=0.
  • Multiplicando por 2 (Teorema 5) obtemos g(x)=2raiz3-x contínua em todos os x tais que 3-x>=0, ou seja, em (-infty,3].

Resposta

  1. O domínio de f é (2,infty) e f é contínua em todo esse intervalo.
  2. O domínio de g é (-infty,3] e g é contínua em todo esse intervalo.

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