Calcule, caso exista, lim n infty an, sendo an igual a:
(1-2n)^n

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
an=l(1-2nr)^n
quando ntoinfty. O conteúdo aqui é o limite do tipo l(1+tfracxnr)^n, que se relaciona à constante e. Para resolver, vamos usar o logaritmo natural e a expansão de Taylor de ln(1+t) para t pequeno.

Passo 2

Calculemos o logaritmo de an:
ln(an) = n ,ln!l(1-2nr)
Como 2nto0, usamos a expansão
ln(1+t)=t-tfract^22+o(t^2), tto0,
com t=-2n. Assim
ln!l(1-2nr) =-2n-12,4n^2+ol(1n^2r) =-2n-2n^2+ol(1n^2r)
Multiplicando por n, vem
ln(an) =nl(-2n-2n^2+o(tfrac1n^2)r) =-2-2n+ol(tfrac1nr)
Portanto
limntoinftyln(an)=-2

Passo 3

Como a função exponencial é contínua, obtemos
limntoinftyan =limntoinftye^ln(an) =e^-2

Resposta

limntoinftyl(1-2nr)^n =e^-2

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