Use o método de cascas cilíndricas para determinar o volume do sólido obtido ao rotar a região definida pelas curvas dadas ao redor da reta dada
y=x^3, y=0, x=1, x=2; ao redor do eixo y.

Passo 1

Estamos estudando a região no plano limitada por y=x^3, y=0, x=1 e x=2, e vamos girá-la em torno do eixo y. O método de cascas cilíndricas diz para dividir a região em tiras verticais de espessura dx, cada uma gerando uma casca de raio x e altura igual à função x^3.

Passo 2

A fórmula pelo método de cascas cilíndricas é
V = integralx=1^x=2 2pi ;(raio);(a<ura);dx
Aqui o raio é x e a altura é x^3. Logo o integrando fica 2pi,xcdot x^3=2pi,x^4.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
V = integral1^2 2pi,x^4 ,dx = 2pi integral1^2 x^4 ,dx

Passo 4

Agora basta calcular a integral:
2pi integral1^2 x^4 ,dx = 2pi l[tfracx^55r]1^2 = 2pil(tfrac2^55-tfrac1^55r) = 2picdottfrac315 = tfrac62pi5

Resposta

O volume do sólido obtido é 62pi5.

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