Seja Omega=(x, y) in R^2 ; x>0. Defina o campo de vetores F: Omega R^2 por
F(x, y)=(y-ln (x^2+y^2)) i+(x+2 arctan (yx)) j
a) Mostrar que F é conservativo.
b) Calcular o trabalho realizado para deslocar uma partícula sob uma curva C=C1 cup C2, orientada positivamente, onde C1=(x, y) in R^2 ; y=raizx, 1 <= x <= 4 e C2=(x, y) in R^2 ; y=75 x-185, 4 <= x <= 9.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente trabalhar com um campo de vetores F(x, y) definido no conjunto Omega = (x, y) in R^2 ; x > 0. Temos duas partes:
a) Mostrar que F é conservativo.
b) Calcular o trabalho realizado para mover uma partícula ao longo de uma curva C que é a união de C1 e C2.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo, como verificar se um campo é conservativo usando derivadas parciais, e como calcular trabalho usando potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo ser conservativo. Um campo de vetores F é conservativo se existe uma função potencial phi(x, y) tal que F = nabla phi, onde nabla phi é o gradiente de phi . Em termos simples, isso significa que o trabalho feito pelo campo F depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.

Passo 3

Para provar que F é conservativo, precisamos verificar duas coisas:
  1. As derivadas parciais cruzadas são iguais, ou seja, partial F1partial y = partial F2partial x.
  2. O domínio Omega é simplesmente conexo (não tem “buracos”), o que no nosso caso, como x > 0, está ok.
Vamos calcular as derivadas parciais.

Passo 4

Vamos identificar F1 e F2 :
F1(x, y) = y - ln(x^2 + y^2)
F2(x, y) = x + 2 arctan(yx)
Calculamos agora partial F1partial y e partial F2partial x.

Passo 5

Primeiro, partial F1partial y:
partial F1partial y = 1 - 2yx^2 + y^2
Agora, partial F2partial x:
partial F2partial x = 1 + 2 cdot partialpartial x arctan(yx)
Sabemos que ddx arctan(yx) = -yx^2 + y^2, então:
partial F2partial x = 1 + 2 cdot (-yx^2 + y^2) = 1 - 2yx^2 + y^2

Passo 6

Agora comparamos:
partial F1partial y = 1 - 2yx^2 + y^2 = partial F2partial x
Como as derivadas parciais cruzadas são iguais e o domínio é simplesmente conexo, concluímos que F é conservativo.

Passo 7

Agora para a parte b), calcular o trabalho realizado ao deslocar uma partícula ao longo da curva C = C1 cup C2. Já que F é conservativo, o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final. Mas a curva C é fechada, ou seja, começa e termina no mesmo ponto.

Passo 8

Em um campo conservativo, o trabalho realizado ao percorrer uma curva fechada é sempre zero, porque a função potencial retorna ao mesmo valor no ponto de início/fim.

Resposta

a) F é um campo conservativo porque as derivadas parciais cruzadas são iguais e o domínio é simplesmente conexo.
b) O trabalho realizado ao deslocar a partícula ao longo da curva C é zero.

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