Seja
. Defina o campo de vetores
por
a) Mostrar que
é conservativo.
b) Calcular o trabalho realizado para deslocar uma partícula sob uma curva
, orientada positivamente, onde
e
.
b) Calcular o trabalho realizado para deslocar uma partícula sob uma curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente trabalhar com um campo de vetores
definido no conjunto
. Temos duas partes:
a) Mostrar que
é conservativo.
b) Calcular o trabalho realizado para mover uma partícula ao longo de uma curva
que é a união de
e
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo, como verificar se um campo é conservativo usando derivadas parciais, e como calcular trabalho usando potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo ser conservativo. Um campo de vetores
é conservativo se existe uma função potencial
tal que
, onde
é o gradiente de
. Em termos simples, isso significa que o trabalho feito pelo campo
depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.
Passo 3
Para provar que
é conservativo, precisamos verificar duas coisas:
- As derivadas parciais cruzadas são iguais, ou seja,
. - O domínio
é simplesmente conexo (não tem “buracos”), o que no nosso caso, como , está ok.
Vamos calcular as derivadas parciais.
Passo 4
Vamos identificar
e
:
Calculamos agora
e
.
Passo 5
Primeiro,
:
Agora,
:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora comparamos:
Como as derivadas parciais cruzadas são iguais e o domínio é simplesmente conexo, concluímos que
é conservativo.
Passo 7
Agora para a parte b), calcular o trabalho realizado ao deslocar uma partícula ao longo da curva
. Já que
é conservativo, o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final. Mas a curva
é fechada, ou seja, começa e termina no mesmo ponto.
Passo 8
Em um campo conservativo, o trabalho realizado ao percorrer uma curva fechada é sempre zero, porque a função potencial retorna ao mesmo valor no ponto de início/fim.
Resposta
a)
é um campo conservativo porque as derivadas parciais cruzadas são iguais e o domínio é simplesmente conexo.
b) O trabalho realizado ao deslocar a partícula ao longo da curva
é zero.