Achar o volume do sólido S limitado pelo paraboloide x^2+y^2=4 z e pelo cilindro x^2+y^2=8 e pelo plano z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido S que é limitado pelo paraboloide x^2 + y^2 = 4z , pelo cilindro x^2 + y^2 = 8 e pelo plano z = 0 . Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como os limites das integrais funcionam e como mudar para coordenadas polares facilita esse processo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as figuras geométricas envolvidas:
  1. Paraboloide x^2 + y^2 = 4z : Esse é um paraboloide circular que abre para cima. Para cada ponto (x, y), o valor de z depende de x^2 + y^2 .
  2. Cilindro x^2 + y^2 = 8 : Esse cilindro tem raio raiz8 = 2raiz2 e se estende infinitamente ao longo do eixo z .
  3. Plano z = 0 : Esse é o plano do chão, onde z é zero.
Queremos o volume que está abaixo do paraboloide, dentro do cilindro, e acima do plano z = 0 .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas cartesianas, x e y são usados, mas como nossos limites dependem de x^2 + y^2 , as coordenadas polares simplificam tudo. A relação entre as coordenadas é:
x = r costheta y = r sintheta x^2 + y^2 = r^2
Além disso, na integração dupla, o elemento de área dx,dy vira r,dr,dtheta .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração:
  1. Para r : O cilindro é r^2 = 8 , então r vai de 0 até raiz8 = 2raiz2 .
  2. Para theta : Como o cilindro é circular e simétrico, theta vai de 0 a 2pi (uma volta completa).
  3. Para z : Entre o plano z = 0 e o paraboloide z = r^24 .

Passo 5

Agora, vamos montar a integral dupla que representa o volume V :
V = integral0^2pi integral0^2raiz2 ( r^24 - 0 ) r,dr,dtheta
Aqui, r^24 é a função que representa o paraboloide, e multiplicamos por r devido ao elemento de área em coordenadas polares.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro (integrar em relação a r ):
integral0^2raiz2 r^34 , dr = 14 [ r^44 ]0^2raiz2 = 116 ( (2raiz2)^4 - 0 )
Calculando (2raiz2)^4 :
(2raiz2)^4 = 2^4 times (raiz2)^4 = 16 times 4 = 64
Então,
116 times 64 = 4
Agora, a integral externa:
V = integral0^2pi 4 , dtheta = 4 times [theta]0^2pi = 4 times 2pi = 8pi

Resposta

O volume do sólido S é 8pi unidades cúbicas.

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