Achar o volume do sólido
limitado pelo paraboloide
e pelo cilindro
e pelo plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido
que é limitado pelo paraboloide
, pelo cilindro
e pelo plano
. Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como os limites das integrais funcionam e como mudar para coordenadas polares facilita esse processo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as figuras geométricas envolvidas:
-
Paraboloide
: Esse é um paraboloide circular que abre para cima. Para cada ponto , o valor de depende de . -
Cilindro
: Esse cilindro tem raio e se estende infinitamente ao longo do eixo . -
Plano
: Esse é o plano do chão, onde é zero.
Queremos o volume que está abaixo do paraboloide, dentro do cilindro, e acima do plano
.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas cartesianas,
e
são usados, mas como nossos limites dependem de
, as coordenadas polares simplificam tudo. A relação entre as coordenadas é:
Além disso, na integração dupla, o elemento de área
vira
.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração:
-
Para
: O cilindro é , então vai de 0 até . -
Para
: Como o cilindro é circular e simétrico, vai de 0 a (uma volta completa). -
Para
: Entre o plano e o paraboloide .
Passo 5
Agora, vamos montar a integral dupla que representa o volume
:
Aqui,
é a função que representa o paraboloide, e multiplicamos por
devido ao elemento de área em coordenadas polares.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro (integrar em relação a
):
Calculando
:
Então,
Agora, a integral externa:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.