25.64 (26.48) A região entre duas esferas concêntricas condutoras com raios a e está preenchida por um material condutor com resistividade rho.
(a) Mostre que a resistência entre as esferas é dada por
R=rho4 pi(1a-1b)
(b) Deduza uma expressão para a densidade de corrente em função do raio em termos da diferença de potencial Va b entre as esferas.
(c) Mostre que o resultado da parte (a) se reduz ao resultado da equação R=rho LA quando a distância entre as esferas L=a-b é pequena.

Passo 1

O enunciado trata de duas esferas condutoras concêntricas de raios a (interna) e b (externa), com o espaço entre elas preenchido por material de resistividade rho. Precisamos usar o conceito de resistência elétrica em arranjos contínuos, onde dividimos o condutor em cascas esféricas infinitesimais, aplicamos dR=rho,dl/A e depois integramos de r=a até r=b. Para a densidade de corrente, usamos que a corrente é radial e uniforme em cada casca: j(r)=I/A(r).

Passo 2

Considere uma casca esférica entre r e r+dr. O comprimento efetivo do “fio” é dl=dr e a área da seção transversal dessa casca é
A(r)=4pi r^2
Logo o elemento de resistência é
dR=rho,drA(r) =rho,dr4pi r^2

Passo 3

Integramos dR de r=a até r=b:
R=integrala^brho4pi r^2,dr =rho4piintegrala^br^-2dr =rho4pil[-,1rr]a^b =rho4pil(1a-1br)

Passo 4

Como a corrente total I que sai da esfera interna atinge a externa sem acúmulo, em cada raio r temos
j(r)=IA(r)=I4pi r^2
Mas de Ohm integral I=Vab/R. Substituindo R do passo anterior:
I=Vabrho4pil(1a-1br) =4pi,Vabrhol(1a-1br)
Logo
j(r) =14pi r^2cdot4pi,Vabrhol(1a-1br) =Vabrhol(1a-1br);1r^2

Passo 5

Para b=a+L com Lll a, usamos a aproximação de Taylor em 1/(a+L):
1a-1b =1a-1a+L approx1a-1al(1-Lar) =La^2
Assim de (a)
Rapproxrho4pi,La^2 =rho,L4pi a^2
Como a área da casca é A=4pi a^2, resulta
Rapproxrho,LA,
que é a fórmula clássica de um “fio” de comprimento L e área A.

Resposta

(a) R=rho4pil(1a-1br)
(b) j(r)=Vabrhol(1a-1br);1r^2
(c) Para L=b-all a, Rapproxrho L/A.

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