25.64 (26.48) A região entre duas esferas concêntricas condutoras com raios
e está preenchida por um material condutor com resistividade
.
(a) Mostre que a resistência entre as esferas é dada por
(b) Deduza uma expressão para a densidade de corrente em função do raio em termos da diferença de potencial
entre as esferas.
(c) Mostre que o resultado da parte (a) se reduz ao resultado da equação
quando a distância entre as esferas
é pequena.
(a) Mostre que a resistência entre as esferas é dada por
(c) Mostre que o resultado da parte (a) se reduz ao resultado da equação
Passo 1
O enunciado trata de duas esferas condutoras concêntricas de raios
(interna) e
(externa), com o espaço entre elas preenchido por material de resistividade
. Precisamos usar o conceito de resistência elétrica em arranjos contínuos, onde dividimos o condutor em cascas esféricas infinitesimais, aplicamos
e depois integramos de
até
. Para a densidade de corrente, usamos que a corrente é radial e uniforme em cada casca:
.
Passo 2
Considere uma casca esférica entre
e
. O comprimento efetivo do “fio” é
e a área da seção transversal dessa casca é
Logo o elemento de resistência é
Passo 3
Integramos
de
até
:
Passo 4
Como a corrente total
que sai da esfera interna atinge a externa sem acúmulo, em cada raio
temos
Mas de Ohm integral
. Substituindo
do passo anterior:
Logo
Passo 5
Para
com
, usamos a aproximação de Taylor em
:
Assim de (a)
Como a área da casca é
, resulta
que é a fórmula clássica de um “fio” de comprimento
e área
.
Resposta
(a)
(b)
(c) Para ,
.
(b)
(c) Para