Verifique que a função dada é contínua em todos os pontos de seu domínio:
h(x)=e^x sin (5 x)

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função
h(x)=e^x,sin(5x)
é contínua em todos os pontos de seu domínio. O conteúdo principal aqui é a teoria de continuidade e, em particular, o fato de que funções elementares como a exponencial e o seno são contínuas em R, que composições e produtos de funções contínuas também são contínuas.

Passo 2

Identificamos o domínio de h. Como
e^x
e
sin(5x)
estão definidas para todo xinR, o domínio de h é
R.

Passo 3

Mostramos que cada fator de h é contínuo:
  1. A função xmapsto e^x é contínua em R (propriedade clássica da exponencial).
  2. A função linear xmapsto 5x é contínua em R.
  3. Como sin(t) é contínua em R, a composição
x ;longmapsto; sinl(5xr)
é contínua em R.

Passo 4

Aplicamos a regra de continuidade para produto de funções: se f e g são contínuas num ponto a, então fcdot g é contínua em a. Como já vimos que e^x e sin(5x) são contínuas em todo x, o produto
h(x)=e^x;sin(5x)
é contínuo em todo xinR.

Resposta

A função h(x)=e^xsin(5x) é contínua em todos os pontos de seu domínio, que é R.

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