Verifique que a função dada é contínua em todos os pontos de seu domínio:
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a função
é contínua em todos os pontos de seu domínio. O conteúdo principal aqui é a teoria de continuidade e, em particular, o fato de que funções elementares como a exponencial e o seno são contínuas em
, que composições e produtos de funções contínuas também são contínuas.
Passo 2
Identificamos o domínio de
. Como
e
estão definidas para todo , o domínio de
é
.
e
estão definidas para todo
Passo 3
Mostramos que cada fator de
é contínuo:
- A função
é contínua em (propriedade clássica da exponencial). - A função linear
é contínua em . - Como
é contínua em , a composição
é contínua em
.
Passo 4
Aplicamos a regra de continuidade para produto de funções: se
e
são contínuas num ponto
, então
é contínua em
. Como já vimos que
e
são contínuas em todo
, o produto
é contínuo em todo
.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos de seu domínio, que é
.