Se a função f(t) é tal que f^prime(t) é contínua e de ordem exponencial, mostre que
f(0)=lim s infty s F(s)
Verifique este fato para a função f(t)=cos (a t).

Passo 1

O enunciado trata do Teorema do valor inicial para a transformada de Laplace. Temos fcolon[0,infty)to R tal que f'(t) é contínua e de ordem exponencial, e definimos
F(s)= Lf(s)=integral0^inftye^-stf(t), dt,
Queremos mostrar que
f(0)=limstoinftys,F(s),
Em seguida, vamos verificar esse resultado para f(t)=cos(a t).

Passo 2

Aplicamos integração por partes na definição de F(s). Escolhemos
u=f(t), dv=e^-st, dt
Então
du=f'(t), dt, v=integral e^-st, dt=-1se^-st
Logo,
F(s) =integral0^inftye^-stf(t), dt =l[f(t)l(-1se^-str)r]0^infty +1sintegral0^inftye^-stf'(t), dt

Passo 3

Mostramos que o termo de fronteira em ttoinfty se anula. Como f'(t) é de ordem exponencial, existe alpha e M>0 tais que lvert f'(t)rvert <= M e^alpha t. Então
f(t) = f(0) + integral0^t f'(tau) , dtau
satisfaz um crescimento também exponencial, i.e.\ lvert f(t) rvert <= C e^alpha t para algum C. Para Re(s) > alpha,
llvert f(t) e^-st rrvert <= C e^alpha t e^-Re(s),t = C e^-(Re(s) - alpha) t longrightarrow 0 (t to infty)
Portanto
limt to infty f(t) l(-1s e^-st r) = 0,
e no ponto t=0 temos -tfrac1s f(0) e^0 = -tfracf(0)s. Assim
l[ f(t) l(-tfrac1s e^-st r) r]0^infty = 0 - l(-tfracf(0)s r) = f(0)s

Passo 4

Substituindo o termo de fronteira em F(s) obtemos
F(s) =f(0)s +1sintegral0^inftye^-stf'(t), dt =1sl(f(0)+ Lf'(s)r)
Multiplicando ambos os lados por s,
s,F(s)=f(0)+ Lf'(s)

Passo 5

Agora usamos que, como f'(t) é de ordem exponencial, Lf'(s)to0 quando stoinfty. De fato,
llvert Lf'(s)rrvert =llvertintegral0^inftye^-stf'(t), dtrrvert <=integral0^inftye^-(Re(s)-alpha)tM, dt =MRe(s)-alpha longrightarrow0 (stoinfty)
Portanto, tomando limite em s,F(s)=f(0)+ Lf'(s), obtemos
limstoinftys,F(s) =f(0)+0 =f(0),
o que prova o Teorema do valor inicial.

Passo 6

Verificação para f(t)=cos(a t). Sabemos
Lcos(a t)(s) =integral0^inftye^-stcos(a t), dt =ss^2+a^2
Então
s,F(s) =scdotss^2+a^2 =s^2s^2+a^2
Fazendo stoinfty,
limstoinftys^2s^2+a^2 =1 =cos(0) =f(0),
confirmando o resultado.

Resposta

Mostramos que para f'(t) contínua e de ordem exponencial vale
f(0)=limstoinftys,F(s),
e no caso f(t)=cos(a t) obtemos
limstoinftyscdotss^2+a^2=1=cos(0)

Exercícios relacionados