Se a função
é tal que
é contínua e de ordem exponencial, mostre que
Verifique este fato para a função
.
Passo 1
O enunciado trata do Teorema do valor inicial para a transformada de Laplace. Temos
tal que
é contínua e de ordem exponencial, e definimos
Queremos mostrar que
Em seguida, vamos verificar esse resultado para
.
Passo 2
Aplicamos integração por partes na definição de
. Escolhemos
Então
Logo,
Passo 3
Mostramos que o termo de fronteira em
se anula. Como
é de ordem exponencial, existe
e
tais que
. Então
satisfaz um crescimento também exponencial, i.e.\
para algum
. Para
,
Portanto
e no ponto
t=0 temos
-tfrac1s f(0) e^0 = -tfracf(0)s . Assim
Passo 4
Substituindo o termo de fronteira em
F(s) obtemos
Multiplicando ambos os lados por
s ,
Passo 5
Agora usamos que, como
f'(t) é de ordem exponencial,
Lf'(s)to0 quando
stoinfty . De fato,
Portanto, tomando limite em
s,F(s)=f(0)+ Lf'(s) , obtemos
o que prova o Teorema do valor inicial.
Passo 6
Verificação para
f(t)=cos(a t) . Sabemos
Então
Fazendo
stoinfty ,
confirmando o resultado.
Resposta
Mostramos que para
f'(t) contínua e de ordem exponencial vale
e no caso
f(t)=cos(a t) obtemos