O trabalho é composto por 2 partes, que devem ser apresentadas na forma escrita e oral, a saber: 1a Resolva analiticamente a equação diferencial
\begin{aligned} 2 \frac{\partial^{2} W(x, t)}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} W(x, t)}{\partial t^{2}}+W(x, t) & =0, \\\ W(0, t) & =0,\left.\frac{\partial W(x, t)}{\partial x}\right|_{x=0}=\cos (t) \\\ W(x, 0) & =x,\left.\frac{\partial W(x, t)}{\partial t}\right|_{t=0}=0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial parcial
2\,\frac{\partial^{2}W(x,t)}{\partial x^{2}} +\frac{\partial^{2}W(x,t)}{\partial t^{2}} +W(x,t)=0
com condições de contorno em x=0:
\displaystyle W(0,t)=0 e \displaystyle \frac{\partial W}{\partial x}(0,t)=\cos(t),
e condições iniciais em t=0:
\displaystyle W(x,0)=x e \displaystyle \frac{\partial W}{\partial t}(x,0)=0.
O conteúdo é resolução de PDE por transformada de Laplace em t.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em t:
\overline{W}(x,s)=\mathcal{L}\{W(x,t)\} =\int_{0}^{\infty}e^{-st}W(x,t)\,dt.
Usando
\mathcal{L}\{W_{tt}\} =s^{2}\overline{W}-s\,W(x,0)-W_{t}(x,0) =s^{2}\overline{W}-s\,x,
a PDE vira uma ODE em x:
2\,\overline{W}_{xx}+(s^{2}+1)\overline{W}-s\,x=0 \quad\Longrightarrow\quad \overline{W}_{xx} +\frac{s^{2}+1}{2}\,\overline{W} =\frac{s}{2}\,x.

Passo 3

Resolvendo a ODE, o homogêneo é
\overline{W}_{h} =A\operatorname{cosh}(\alpha x)+B\operatorname{sinh}(\alpha x), \quad \alpha=\sqrt{\frac{s^{2}+1}{2}}.
Uma particular do tipo \overline{W}_{p}=C\,x
\alpha^{2}C\,x=\tfrac{s}{2}x, logo
C=\frac{s}{2\alpha^{2}} =\frac{s}{s^{2}+1},
e
\overline{W}(x,s) =A\operatorname{cosh}(\alpha x)+B\operatorname{sinh}(\alpha x) +\frac{s}{s^{2}+1}\,x.
Pelas condições em x=0:
\overline{W}(0,s)=0 implica A=0,
e \overline{W}_{x}(0,s)=\tfrac{s}{s^{2}+1} (transformada de \cos t) implica B=0.
Assim
\overline{W}(x,s)=\frac{s}{s^{2}+1}\,x.

Passo 4

Invertemos a transformada:
W(x,t) =x\,\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{s}{s^{2}+1}\Bigr\} =x\cos(t).
Verifica-se que esta solução satisfaz a PDE, as condições de contorno e iniciais.

Resposta

W(x,t)=x\cos(t).

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