Q.29) Decaimento do Potássio-40. Um dos metais mais abundantes encontrados em toda a crosta terrestre e nos oceanos é o potássio. Apesar do potássio ocorrer naturalmente na forma de três isótopos, apenas o isótopo potássio-40 (K-40) é radioativo. Este isótopo é um pouco incomum, pois decai por duas diferentes reações nucleares. Ao longo do tempo pela emissão de uma partícula beta, uma grande percentagem de uma quantidade inicial de K-40 decai para o cálcio-40 (Ca-40) isótopo estável, ao passo que por captura de elétrons uma menor porcentagem de K-40 decai no isótopo estável argônio 40 (Ar-40),
\begin{aligned} \frac{d C}{d t} & =\lambda_{1} K \\\ \frac{d A}{d t} & =\lambda_{2} K \\\ \frac{d K}{d t} & =-\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right) K \end{aligned}
onde \lambda_{1} e \lambda_{2} são constantes de proporcionalidade positivas. Responda:
a) A partir do sistema de equações diferenciais acima encontre K(t) se K(0)=K_{0}. Então encontre C(t) e A(t) se C(0)=0 e A(0)=0.
b) Sabe-se que \lambda_{1}=4,7526 \times 10^{-10} e \lambda_{2}=0,5874 \times 10^{-10}. Encontre a meia-vida do K-40.
c) Use as soluções de C(t) e A(t) para determinar a percentagem de um montante inicial K_{0} de K-40 que decais em Ca-40 e o percentual que decai em Ar-40 ao longo de um período de tempo muito longo.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de equações diferenciais que descreve o decaimento do isótopo K-40 em Ca-40 e Ar-40:
\frac{dK}{dt} = -(\lambda_1+\lambda_2)\,K,\quad \frac{dC}{dt} = \lambda_1\,K,\quad \frac{dA}{dt} = \lambda_2\,K.
Queremos, com K(0)=K_0, C(0)=0 e A(0)=0, encontrar as soluções K(t), C(t), A(t); em seguida calcular a meia-vida e, no limite t\to\infty, as percentagens de decaimento para Ca-40 e Ar-40.

Passo 2

Resolvendo a equação de K, que é separável,
\frac{dK}{dt} = -(\lambda_1+\lambda_2)\,K,
integramos \displaystyle\int\frac{dK}{K} = -(\lambda_1+\lambda_2)\int dt e obtemos
K(t) = K_0\,e^{-(\lambda_1+\lambda_2)\,t}.

Passo 3

Para C(t), temos
\frac{dC}{dt} = \lambda_1\,K(t) = \lambda_1\,K_0\,e^{-(\lambda_1+\lambda_2)t},
com C(0)=0. Integramos de 0 a t:
C(t) = \lambda_1\,K_0 \int_{0}^{t} e^{-(\lambda_1+\lambda_2)\,\tau}\,d\tau = \frac{\lambda_1\,K_0}{\lambda_1+\lambda_2}\Bigl(1 - e^{-(\lambda_1+\lambda_2)t}\Bigr).

Passo 4

Analogamente, para A(t) com A(0)=0:
\frac{dA}{dt} = \lambda_2\,K_0\,e^{-(\lambda_1+\lambda_2)t} \quad\Longrightarrow\quad A(t) = \frac{\lambda_2\,K_0}{\lambda_1+\lambda_2}\Bigl(1 - e^{-(\lambda_1+\lambda_2)t}\Bigr).

Passo 5

A meia-vida T_{1/2} é o tempo em que K(T_{1/2}) = K_0/2, ou seja
e^{-(\lambda_1+\lambda_2)\,T_{1/2}} = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda_1+\lambda_2}.
Com \lambda_1=4{,}7526\times10^{-10} e \lambda_2=0{,}5874\times10^{-10} (ambos em \text{ano}^{-1}),
\lambda_1+\lambda_2 = 5{,}3400\times10^{-10}\,\text{ano}^{-1} e
T_{1/2} \approx \frac{0{,}6931}{5{,}34\times10^{-10}} \approx 1{,}30\times10^{9}\\ \text{anos}.

Passo 6

No limite t\to\infty, e^{-(\lambda_1+\lambda_2)t}\to0, logo
C(\infty) = \frac{\lambda_1\,K_0}{\lambda_1+\lambda_2}, \quad A(\infty) = \frac{\lambda_2\,K_0}{\lambda_1+\lambda_2}.
As frações do montante inicial K_0 que decaem em cada canal são
\frac{C(\infty)}{K_0} = \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\approx 0{,}890\quad(89{,}0\%),
\frac{A(\infty)}{K_0} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}\approx 0{,}110\quad(11{,}0\%).

Resposta

a)
K(t) = K_0\,e^{-(\lambda_1+\lambda_2)t},\quad C(t) = \frac{\lambda_1\,K_0}{\lambda_1+\lambda_2}\bigl(1 - e^{-(\lambda_1+\lambda_2)t}\bigr),\quad A(t) = \frac{\lambda_2\,K_0}{\lambda_1+\lambda_2}\bigl(1 - e^{-(\lambda_1+\lambda_2)t}\bigr).
b)
T_{1/2} = \frac{\ln2}{\lambda_1+\lambda_2} \approx 1{,}30\times10^{9}\\ \text{anos}.
c)
\frac{C(\infty)}{K_0}\approx 89{,}0\%,\quad \frac{A(\infty)}{K_0}\approx 11{,}0\%.

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