Q.29) Decaimento do Potássio-40. Um dos metais mais abundantes encontrados em toda a crosta terrestre e nos oceanos é o potássio. Apesar do potássio ocorrer naturalmente na forma de três isótopos, apenas o isótopo potássio-40 (K-40) é radioativo. Este isótopo é um pouco incomum, pois decai por duas diferentes reações nucleares. Ao longo do tempo pela emissão de uma partícula beta, uma grande percentagem de uma quantidade inicial de K-40 decai para o cálcio-40 (Ca-40) isótopo estável, ao passo que por captura de elétrons uma menor porcentagem de K-40 decai no isótopo estável argônio 40 (Ar-40),
onde
e
são constantes de proporcionalidade positivas. Responda:
a) A partir do sistema de equações diferenciais acima encontre
se
. Então encontre
e
se
e
.
b) Sabe-se que
e
. Encontre a meia-vida do K-40.
c) Use as soluções de
e
para determinar a percentagem de um montante inicial
de K-40 que decais em Ca-40 e o percentual que decai em Ar-40 ao longo de um período de tempo muito longo.
a) A partir do sistema de equações diferenciais acima encontre
b) Sabe-se que
c) Use as soluções de
Passo 1
O enunciado dá um sistema de equações diferenciais que descreve o decaimento do isótopo K-40 em Ca-40 e Ar-40:
Queremos, com
,
e
, encontrar as soluções
,
,
; em seguida calcular a meia-vida e, no limite
, as percentagens de decaimento para Ca-40 e Ar-40.
Passo 2
Resolvendo a equação de
, que é separável,
integramos
e obtemos
Passo 3
Para
, temos
com
. Integramos de
a
:
Passo 4
Analogamente, para
com
:
Passo 5
A meia-vida
é o tempo em que
, ou seja
Com
e
(ambos em
),
e
Passo 6
No limite
,
, logo
As frações do montante inicial
que decaem em cada canal são
Resposta
a)
b)
c)