3- (25) Água a 15^{\circ} \mathrm{C} entra em um tubo fino de cobre de um trocador de calor, de 2,5 \mathrm{~cm} de diâmetro, a uma vazão de 0,3 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, e é aquecida pela condensação de vapor na superfície externa a 120^{\circ} \mathrm{C} até alcançar 115^{\circ} \mathrm{C}. Considerando que o coeficiente convectivo médio é 800 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}\right), determine:
a) (5) a temperatura de referência;
b) (20) o comprimento do tubo necessário para aquecer a água até 115^{\circ} \mathrm{C}.
Dados do fluido na temperatura de referência: \rho=980,4 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mathrm{c}_{\mathrm{p}}=4187 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \mathrm{K} ; \mathrm{k}=0,659 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \mathrm{K}; \mu=0,433 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} / \mathrm{s} \mathrm{m} ; \operatorname{Pr}=2,75.

Passo 1

O enunciado descreve água entrando a 15^{\circ}\mathrm{C} em um tubo de diâmetro interno D=2{,}5\\ \mathrm{cm} com vazão mássica \dot m=0{,}3\\ \mathrm{kg/s}. Na parede externa há vapor condensando a T_s=120^{\circ}\mathrm{C}. O coeficiente médio de convecção é h=800\\ \mathrm{W/(m^2\,K)}. Pede‐se:
– (a) a temperatura de referência para as propriedades;
– (b) o comprimento L do tubo para aquecer a água até 115^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 2

Para usar as propriedades dadas, escolhemos a temperatura de filme
T_{\rm ref} = \frac{T_s + T_{\rm b,\,média}}{2},é
onde a temperatura média do fluido é
T_{\rm b,\,média} = \frac{T_i + T_o}{2} = \frac{15 + 115}{2} = 65^{\circ}\mathrm{C}.é
Logo
T_{\rm ref} = \frac{120 + 65}{2} = 92{,}5^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 3

Aplicamos o balanço de energia diferencial no escoamento interno, desprezando resistência de condução no tubo e supondo T_s constante:
\dot m\,c_p\,\mathrm{d}T_b = h\,\pi D\,\bigl(T_s - T_b\bigr)\,\mathrm{d}x.
Reagrupando:
\frac{\mathrm{d}T_b}{T_s - T_b} = \frac{h\,\pi D}{\dot m\,c_p}\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Integramos de T_i=15^{\circ}\mathrm{C} até T_o=115^{\circ}\mathrm{C} e de x=0 até x=L:
\int_{T_i}^{T_o}\frac{\mathrm{d}T_b}{T_s - T_b} = \frac{h\,\pi D}{\dot m\,c_p}\,\int_{0}^{L}\mathrm{d}x,
-\ln\!\Bigl[\frac{T_s - T_o}{T_s - T_i}\Bigr] = \frac{h\,\pi D}{\dot m\,c_p}\;L \quad\Longrightarrow\quad L = \frac{\dot m\,c_p}{h\,\pi D} \ln\!\Bigl(\frac{T_s - T_i}{T_s - T_o}\Bigr).

Passo 5

Substituindo \dot m=0{,}3, c_p=4187, h=800, D=0{,}025, T_s-T_i=105, T_s-T_o=5:
\frac{\dot m\,c_p}{h\,\pi D} = \frac{0{,}3\cdot4187}{800\cdot\pi\cdot0{,}025} \approx19{,}99\\ \mathrm{m},
\ln\Bigl(\tfrac{105}{5}\Bigr)=\ln(21)\approx3{,}045,
L\approx19{,}99\times3{,}045\approx60{,}9\\ \mathrm{m}.

Resposta

a) T_{\rm ref}=92{,}5^{\circ}\mathrm{C}.
b) L\approx61\\ \mathrm{m}.

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