(30) A distribuição de temperaturas ao longo de uma parede com espessura de 1 m , em determinado instante de tempo é dado por:
T(x)=a+b x+c x^{2}
na qual \mathrm{T}\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right] e \mathrm{x}[\mathrm{m}], enquanto \mathrm{a}=900^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{b}=-300^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{m} e \mathrm{c}=-50^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}. Uma geração de energia de calor uniforme de 1000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3} está presente na parede cuja área é de 10 \mathrm{~m}^{2}. O seu material apresenta as seguintes propriedades:
Dados: \rho=1600 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mathrm{k}=40 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \mathrm{K} e \mathrm{c}_{\mathrm{p}}=4000 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \mathrm{K}.
Determine:
a) (12) Taxa de transferência de calor que entra na parede em \mathrm{x}=0 e que deixa a parede em \mathrm{x}=1 \mathrm{~m}
b) (10) Taxa de variação de energia acumulada na parede
c) (8) Taxa de variação da temperatura em relação ao tempo na posição x=0,5 \mathrm{~m}.
Passo 1
O enunciado dá a distribuição de temperatura ao longo de uma parede de espessura L=1\:\mathrm{m} e área A=10\:\mathrm{m}^2 em um instante fixo, com
T(x)=a+b\,x+c\,x^2,
sendo a=900^\circ\mathrm{C}, b=-300^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}, c=-50^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}^2. Há geração volumétrica uniforme q_{\mathrm{gen}}=1000\:\mathrm{W}/\mathrm{m}^3. As propriedades são \rho=1600\:\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3, c_p=4000\:\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm K), k=40\:\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm K).
Conteúdo: condução unidimensional com geração, usando
Lei de Fourier para os fluxos de calor na superfície
Balanço de energia para taxa de acumulação
Equação transiente local \rho\,c_p\,\partial T/\partial t = k\,\partial^2 T/\partial x^2 + q_{\mathrm{gen}}.
Passo 2
Calcular \displaystyle \frac{dT}{dx}=b+2c\,x. Em x=0:
a) \dot Q_{\mathrm{in}}=120\,000\:\mathrm{W}, \dot Q_{\mathrm{out}}=160\,000\:\mathrm{W}.
b) \displaystyle \frac{dE}{dt}=-30\,000\:\mathrm{W}.
c) \displaystyle \left.\frac{\partial T}{\partial t}\right|_{x=0{,}5} \approx -4{,}6875\times10^{-4}\:^\circ\mathrm{C}/\mathrm{s}.