Dado o vetor velocidade:
\vec{V}=\left(-y^{3}-4 z\right) \hat{j}+\left(3 y^{2} z\right) \hat{k}
a) Verifique se o escoamento é uni, bi ou tridimensional.
b) Verifique se o escoamento é em regime permanente ou transiente.
c) Determinar a aceleração da partícula observando a contribuição da aceleração local e convectiva.
d) Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de velocidades
\vec{V} = \bigl(-y^{3}-4z\bigr)\,\hat{\jmath} + \bigl(3y^{2}z\bigr)\,\hat{k}
e pede:
a) se o escoamento é uni/bi/tridimensional;
b) se é permanente ou transiente;
c) a aceleração total separada em local e convectiva;
d) se o escoamento é rotacional ou irrotacional.
Para isso vamos usar noções de dependência espacial, derivada material e cálculo de vorticidade.

Passo 2

Para ver a dimensionalidade, observamos que o campo não tem componente em \hat{\imath} u=0 e as componentes em \hat{\jmath} e \hat{k} dependem apenas de y e z. Logo só há variação em duas direções espaciais, ou seja, é um escoamento bidimensional.

Passo 3

Como não aparece nenhum parâmetro de tempo t no campo \vec{V}, temos
\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} = \vec{0},
ou seja, não há variação temporal explícita e o escoamento é permanente.

Passo 4

A aceleração de uma partícula é a derivada material
\vec{a} = \frac{D\vec{V}}{Dt} = \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} + (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}.
Aqui \partial\vec{V}/\partial t=\vec{0} (local) e o termo convectivo é
(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} = \bigl(0\,\partial_x + v\,\partial_y + w\,\partial_z\bigr)\bigl(v\,\hat{\jmath} + w\,\hat{k}\bigr),
com v=-y^3-4z e w=3y^2z. Calculando componente a componente:
a_x = 0,
a_y = v\,\frac{\partial v}{\partial y} + w\,\frac{\partial v}{\partial z} = (-y^3-4z)(-3y^2) + (3y^2z)(-4) = 3y^5,
a_z = v\,\frac{\partial w}{\partial y} + w\,\frac{\partial w}{\partial z} = (-y^3-4z)(6yz) + (3y^2z)(3y^2) = 3y^4z - 24yz^2.
Portanto
\vec{a}_{\text{local}} = \vec{0}, \qquad \vec{a}_{\text{conv}} = 3y^5\,\hat{\jmath} + \bigl(3y^4z - 24yz^2\bigr)\,\hat{k},
e a aceleração total \vec{a}=\vec{a}_{\text{conv}}.

Passo 5

Para saber se é rotacional ou não, calculamos a vorticidade \boldsymbol{\omega} = \nabla\times\vec{V}. Usando
\omega_x = \frac{\partial w}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial z} = 6yz - (-4) = 6yz + 4,
\omega_y = \frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x} = 0 - 0 = 0, \quad \omega_z = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} = 0 - 0 = 0.
Como \omega_x = 6yz +4 nem sempre é zero, o escoamento é rotacional.

Resposta

a) Escoamento bidimensional.
b) Permanente.
c) \displaystyle \vec{a}_{\text{local}}=\vec{0},\quad \vec{a}_{\text{conv}}=3y^{5}\,\hat{\jmath}+(3y^{4}z-24yz^{2})\,\hat{k}.
d) O escoamento é rotacional.

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