(25) Bolas de aço com 12 mm de diâmetro são temperados pelo aquecimento a 1150 K seguido pelo resfriamento até 400 K em um ambiente com ar a \mathrm{T}_{\infty}=325 \mathrm{~K} e h =20 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Supondo que as propriedades do aço sejam \mathrm{k}=40 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \mathrm{K}, \rho=7800 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \mathrm{c}_{\mathrm{p}}=600 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \mathrm{K}, estime o tempo necessário para o processo de resfriamento. Considere L_{c}= volume da esfera/área superficial da esfera.

Passo 1

O enunciado trata do resfriamento transiente de uma esfera de aço de diâmetro 12\\ \mathrm{mm} do estado inicial T_i=1150\\ \mathrm{K} até T(t)=400\\ \mathrm{K}, em ar a T_\infty=325\\ \mathrm{K} com coeficiente convectivo h=20\\ \mathrm{W/m^2K}. Vamos usar o método de capacitância concentrada (lumped) para calor transiente em corpos com Biot pequeno.

Passo 2

Calcular o comprimento característico
L_c=\frac{V}{A}=\frac{r/3}{}\quad\text{para esfera, com }r=\tfrac{12\\ \mathrm{mm}}{2}=6\\ \mathrm{mm}=0{,}006\\ \mathrm{m},
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L_c=\frac{0{,}006}{3}=0{,}002\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Determinar o número de Biot
\mathrm{Bi}=\frac{h\,L_c}{k}=\frac{20\cdot0{,}002}{40}=0{,}001<0{,}1,
logo a hipótese lumped é válida.

Passo 4

Na aproximação lumped, a evolução da temperatura obedece
\frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}=\exp\Bigl(-\frac{t}{\tau}\Bigr),
com constante de tempo
\tau=\frac{\rho\,c_p\,L_c}{h} =\frac{7800\cdot600\cdot0{,}002}{20}=468\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Determinar o tempo necessário para T(t)=400\\ \mathrm{K}:
\frac{400-325}{1150-325}=\exp\Bigl(-\frac{t}{468}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad t=-468\ln\Bigl(\frac{75}{825}\Bigr)=468\ln\Bigl(\frac{825}{75}\Bigr)\approx1122\\ \mathrm{s}.
Convertendo para minutos, 1122\\ \mathrm{s}\approx18{,}7\\ \mathrm{min}.

Resposta

O tempo de resfriamento é aproximadamente 1120\\ \mathrm{s} (cerca de 18{,}7\\ \mathrm{min}).

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