) Questão ( 17,5 ptos, onde cada item vale 3,5 ptos). Resolva as seguintes edos com as substituições adequadas:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo envolvido é o método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada e depois buscamos uma solução particular para a parte não-homogênea.
Passo 2
Encontramos a solução da equação homogênea
pela equação característica
Assim,
Passo 3
Para a parte não-homogênea usamos coeficientes indeterminados. Como o termo forçante é
, que já aparece em
, multiplicamos por
e suponhamos
Calculamos as derivadas:
Substituindo em
:
Para que isso seja igual a
precisamos de
, logo
Logo
Passo 4
A solução geral da equação original é a soma das partes homogênea e particular: