\mathbf{5}^{\circ} ) Questão ( 17,5 ptos, onde cada item vale 3,5 ptos). Resolva as seguintes edos com as substituições adequadas:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}=e^{-t}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' = e^{-t}.
O conteúdo envolvido é o método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada e depois buscamos uma solução particular para a parte não-homogênea.

Passo 2

Encontramos a solução da equação homogênea
y'' + y' = 0
pela equação característica
r^2 + r = 0 \;\Longrightarrow\; r(r+1)=0 \;\Longrightarrow\; r_1=0,\;r_2=-1.
Assim,
y_h(t) = C_1 + C_2 e^{-t}.

Passo 3

Para a parte não-homogênea usamos coeficientes indeterminados. Como o termo forçante é e^{-t}, que já aparece em y_h, multiplicamos por t e suponhamos
y_p(t) = A\,t\,e^{-t}.
Calculamos as derivadas:
y_p'(t) = A\,(1 - t)\,e^{-t},
y_p''(t) = A\,(t - 2)\,e^{-t}.
Substituindo em y''+y':
y_p'' + y_p' = A\,(t - 2)\,e^{-t} + A\,(1 - t)\,e^{-t} = -A\,e^{-t}.
Para que isso seja igual a e^{-t} precisamos de -A\,e^{-t}=e^{-t}, logo
A = -1.
Logo
y_p(t) = -\,t\,e^{-t}.

Passo 4

A solução geral da equação original é a soma das partes homogênea e particular:
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 + C_2\,e^{-t} - t\,e^{-t}.

Resposta

y(t) = C_1 + C_2\,e^{-t} - t\,e^{-t}.

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