(2,5) Um escoamento de um fluido ideal de densidade igual a da água é descrito pelo campue velocidades \overrightarrow{\mathrm{V}}=(y+2 z ; x+3 z ; 2 x+3 y). Considere z a coordenada vertical.
a) (0,75) Mostre que o escoamento é irrotacional.
b) (1,0) Determine a diferença de pressão entre os pontos (1 ; 2 ; 1) e (2 ; 1 ; 2) no escoasmento. c) (0,75) Calcule a função potencial escalar correspondente a este campo de velocidades.

Passo 1

O enunciado dá um fluido ideal (densidade igual à da água, que chamamos de \rho) e um campo de velocidades
\overrightarrow{V}(x,y,z)=\bigl(y+2z,\;x+3z,\;2x+3y\bigr),
com z a coordenada vertical. Pede-se:
a) mostrar que o escoamento é irrotacional;
b) calcular a diferença de pressão entre A=(1,2,1) e B=(2,1,2);
c) achar a função potencial escalar \varphi tal que \nabla\varphi=\overrightarrow{V}.

Passo 2

Para mostrar que o escoamento é irrotacional basta verificar que
\nabla\times \overrightarrow{V} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\\ y+2z&x+3z&2x+3y \end{vmatrix} = \mathbf{i}\bigl(\partial_y(2x+3y)-\partial_z(x+3z)\bigr) - \mathbf{j}\bigl(\partial_x(2x+3y)-\partial_z(y+2z)\bigr) + \mathbf{k}\bigl(\partial_x(x+3z)-\partial_y(y+2z)\bigr).
Calculando cada componente: \partial_y(2x+3y)=3,\;\partial_z(x+3z)=3, \partial_x(2x+3y)=2,\;\partial_z(y+2z)=2, \partial_x(x+3z)=1,\;\partial_y(y+2z)=1.
Logo todas as componentes do rotor são nulas e
\nabla\times \overrightarrow{V}=\mathbf{0},
ou seja, o escoamento é irrotacional.

Passo 3

Como o escoamento é estacionário, irrotacional e o fluido é ideal, vale a equação de Bernoulli em toda parte:
P + \tfrac12\,\rho\,|\overrightarrow{V}|^2 + \rho\,g\,z = \text{const}.
Tomando dois pontos A e B, deste princípio segue
P(A)-P(B) =\tfrac12\,\rho\bigl(|\overrightarrow{V}(B)|^2-|\overrightarrow{V}(A)|^2\bigr) +\rho\,g\bigl(z_B-z_A\bigr).

Passo 4

Calculamos \overrightarrow{V} em A=(1,2,1) e em B=(2,1,2):
em A:
\overrightarrow{V}(1,2,1) =\bigl(2+2,\;1+3,\;2\cdot1+3\cdot2\bigr) =(4,4,8), \quad|\overrightarrow{V}(A)|^2=4^2+4^2+8^2=96;
em B:
\overrightarrow{V}(2,1,2) =\bigl(1+4,\;2+6,\;2\cdot2+3\cdot1\bigr) =(5,8,7), \quad|\overrightarrow{V}(B)|^2=5^2+8^2+7^2=138.

Passo 5

Substituindo em Bernoulli:
P(A)-P(B) =\tfrac12\,\rho\,(138-96) +\rho\,g\,(2-1) =\rho\bigl(21 + g\bigr).
Para água \rho\approx1000,kg/ m^{3} e g\approx9{,}8,m/ s^{2},
P(A)-P(B)\approx1000\,(21+9{,}8)\approx3{,}08\times10^4\\ \text{Pa}.

Passo 6

Como \nabla\varphi=\overrightarrow{V}, integramos \partial_x\varphi=y+2z para obter \varphi=xy+2xz+f(y,z).
Depois, \partial_y\varphi=x+\partial_y f=y+2z deve ser x+3z,
logo \partial_y f=3z e f=3yz+g(z).
Finalmente, \partial_z\varphi=2x+3y+g'(z) deve dar 2x+3y,
logo g'(z)=0.
Isso leva a
\varphi(x,y,z)=xy+2xz+3yz+\text{const}.

Resposta

a) \nabla\times\overrightarrow{V}=\mathbf{0}, logo o escoamento é irrotacional.
b) P(1,2,1)-P(2,1,2)=\rho\,(21+g)\approx3{,}08\times10^4 Pa (para água).
c) \displaystyle \varphi(x,y,z)=xy+2xz+3yz+\text{const}.

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