[25] Calcule o trabalho do campo C ao longo do semi-circulo (0,0) de centro (1,0) que vai de (-1,0) a .

Passo 1

O enunciado pede para calcular o trabalho do campo F=x^2,i+(y^3+e^y+x),j ao longo do semi-círculo de raio 1 centrado na origem, de (1,0) até (-1,0). O conteúdo é integral de linha de campo vetorial e vamos precisar parametrizar a curva.

Passo 2

Verificamos que o campo não é conservativo, pois partialpartial y(x^2)=0 e partialpartial x(y^3+e^y+x)=1, logo não são iguais. Então, parametrizamos o semicírculo por x=cos t, y=sin t, com tin[0,pi]. Assim dx=-sin t,dt e dy=cos t,dt.

Passo 3

Substituindo em W=integralCvec Fcdot dvec r=integral0^pil[x^2,dx+(y^3+e^y+x),dyr], temos:
W=integral0^pil(cos^2t,(-sin t,dt)+(sin^3t+e^sin t+cos t),(cos t,dt)r)

Passo 4

Expandindo, separam-se quatro integrais:
I1=integral0^pi -cos^2tsin t,dt, I2=integral0^pisin^3tcos t,dt, I3=integral0^pi e^sin tcos t,dt, I4=integral0^picos^2t,dt

Passo 5

Para I1 use u=cos t, du=-sin t,dt, obtendo
I1=integralu(0)=1^u(pi)=-1u^2,du=l[tfracu^33r]1^-1=-tfrac23

Passo 6

Em I2 e I3 fazemos respectivamente v=sin t e w=sin t, ambos vão de 0 a 0, dando zero.

Passo 7

Para I4 usamos a identidade cos^2t=tfrac1+cos2t2, então
I4=integral0^picos^2t,dt=integral0^pitfrac1+cos2t2,dt=tfracpi2

Passo 8

Somando todas as partes: W=I1+I2+I3+I4=-tfrac23+0+0+tfracpi2.

Resposta

W=pi2-23

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