Questão 14. Para cada uma das funções abaixo, verifique que a singularidade isolada é removível.
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
teve em
Passo 2
Começamos lembrando a série de Taylor para
em torno de
:
Aqui usamos
, então
Passo 3
Subtraímos o termo linear
:
Passo 4
Agora dividimos por
:
Essa é a expansão de
em potências de
.
Passo 5
Vendo a expansão, quando
o termo dominante é
que tende a zero. Logo
Como esse limite existe e é finito, a singularidade em
é removível. Basta definir
para estender analiticamente.
Passo 6
Em resumo, definindo
obtemos uma função holomorfa em todo o plano, com a singularidade isolada em
removida.
Resposta
A singularidade em z=0 é removível, e o valor que estende f continuamente é f(0)=0.