Questão 14. Para cada uma das funções abaixo, verifique que a singularidade isolada é removível.
f(z)=sen(4 z)-4 zz^2;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(z)=sin(4z)-4zz^2
teve em z=0 uma singularidade isolada que é removível. Isso cai no tema de singularidades isoladas em funções holomorfas: quando o limite de f(z) em zto0 existe finito, podemos estender f atribuindo esse valor em z=0 e assim “remover” a singularidade. Vamos usar a expansão em série de Taylor de sin(4z).

Passo 2

Começamos lembrando a série de Taylor para sin w em torno de w=0:
sin w= w - w^33!+w^55!-cdots
Aqui usamos w=4z, então
sin(4z)=4z - (4z)^33!+(4z)^55!-cdots

Passo 3

Subtraímos o termo linear 4z:
sin(4z)-4z = -(4z)^33!+(4z)^55!-cdots = -64z^36+1024z^5120-cdots = -323z^3+25630z^5-cdots

Passo 4

Agora dividimos por z^2:
f(z)=sin(4z)-4zz^2= -323z + 25630z^3 - cdots
Essa é a expansão de f(z) em potências de z.

Passo 5

Vendo a expansão, quando zto0 o termo dominante é -tfrac323z que tende a zero. Logo
limzto0f(z)=0
Como esse limite existe e é finito, a singularidade em z=0 é removível. Basta definir f(0)=0 para estender analiticamente.

Passo 6

Em resumo, definindo
f(0)=0,
obtemos uma função holomorfa em todo o plano, com a singularidade isolada em z=0 removida.

Resposta

A singularidade em z=0 é removível, e o valor que estende f continuamente é f(0)=0.

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