Questão 5. Calcule as integrais abaixo:
;
Passo 1
A integral que queremos calcular é
O conteúdo é de integração usando números complexos e o Teorema de Cauchy para funções inteiras.
Passo 2
Vamos usar a fórmula de Euler e reconhecer parte real de um exponencial complexo. Primeiro, escrevemos
Multiplicando por
, obtemos
Dessa forma,
Passo 3
Assim, a integral se torna a parte real de
Fazendo a mudança de variável no contorno unitário:
, então
, logo
e
Passo 4
Logo,
Como
é inteira (analítica em todo o plano), pelo Teorema de Cauchy essa integral de contorno vale zero.
Passo 5
Concluímos que a integral original é a parte real de zero, ou seja,
Resposta
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