Questão 5. Calcule as integrais abaixo:
integral0^2 pi e^cos theta cos (theta+sen theta) d theta;

Passo 1

A integral que queremos calcular é
integral0^2pi e^costheta,cosl(theta+sinthetar),dtheta
O conteúdo é de integração usando números complexos e o Teorema de Cauchy para funções inteiras.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de Euler e reconhecer parte real de um exponencial complexo. Primeiro, escrevemos
e^e^itheta = e^costheta + isintheta = e^costhetal(cos(sintheta)+i,sin(sintheta)r)
Multiplicando por e^itheta=costheta+isintheta, obtemos
e^ithetae^e^itheta=e^costhetal(cos(theta+sintheta)+i,sin(theta+sintheta)r)
Dessa forma,
e^costhetacos(theta+sintheta)=Rel(e^ithetae^e^ithetar)

Passo 3

Assim, a integral se torna a parte real de
integral0^2pie^ithetae^e^itheta,dtheta
Fazendo a mudança de variável no contorno unitário: z=e^itheta, então dz=i e^ithetadtheta=i z,dtheta, logo
dtheta=dzi z,
e
e^ithetae^e^itheta,dtheta = z e^zdzi z=e^zi,dz

Passo 4

Logo,
integral0^2pie^ithetae^e^itheta,dtheta = 1ioint|z|=1e^z,dz
Como e^z é inteira (analítica em todo o plano), pelo Teorema de Cauchy essa integral de contorno vale zero.

Passo 5

Concluímos que a integral original é a parte real de zero, ou seja,
integral0^2pi e^costhetacos(theta+sintheta),dtheta = 0

Resposta

0

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