Calcule $ \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \gamma $ em cada um dos seguintes casos:
$ \vec{F}(x, y)=(x-y) \vec{i}+(x+y) \vec{j}, \quad \gamma(t)=(3 t+2,5 t-4),-1 \leq t \leq 1$
$ \vec{F}(x, y)=(x-y) \vec{i}+(x+y) \vec{j}, \quad \gamma(t)=(3 t+2,5 t-4),-1 \leq t \leq 1$
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
e a curva é dada por
. O conteúdo aqui é integral de linha de campo vetorial e vamos usar a fórmula
Passo 2
Para aplicar essa fórmula, primeiro calculamos o vetor velocidade da curva, ou seja, a derivada
. Como
, temos
Passo 3
Em seguida avaliamos o campo vetorial ao longo da curva: substituímos
e
em
. Assim
Passo 4
Agora fazemos o produto escalar
:
Passo 5
Finalmente montamos e calculamos a integral:
A antiderivada de
é
. Avaliando de
até
dá
Resposta
16