Calcule $ \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \gamma $ em cada um dos seguintes casos:
$ \vec{F}(x, y)=(x-y) \vec{i}+(x+y) \vec{j}, \quad \gamma(t)=(3 t+2,5 t-4),-1 \leq t \leq 1$

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralgamma Fcdot dgamma onde F(x,y)=(x-y,,x+y) e a curva é dada por gamma(t)=(3t+2,,5t-4),;-1<= t<=1. O conteúdo aqui é integral de linha de campo vetorial e vamos usar a fórmula
integralgamma Fcdot dgamma=integrala^b Fl(gamma(t)r)cdotgamma'(t),dt

Passo 2

Para aplicar essa fórmula, primeiro calculamos o vetor velocidade da curva, ou seja, a derivada gamma'(t). Como gamma(t)=(3t+2,,5t-4), temos
gamma'(t)=(3,,5)

Passo 3

Em seguida avaliamos o campo vetorial ao longo da curva: substituímos x=3t+2 e y=5t-4 em F(x,y)=(x-y,,x+y). Assim
Fl(gamma(t)r)=l((3t+2)-(5t-4),;(3t+2)+(5t-4)r)=(-2t+6,,8t-2)

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar F(gamma(t))cdotgamma'(t):
(-2t+6)cdot3+(8t-2)cdot5=-6t+18+40t-10=34t+8

Passo 5

Finalmente montamos e calculamos a integral:
integralgamma Fcdot dgamma=integral-1^1(34t+8),dt
A antiderivada de 34t+8 é 17t^2+8t. Avaliando de -1 até 1
(17cdot1^2+8cdot1)-(17cdot(-1)^2+8cdot(-1))=(17+8)-(17-8)=25-9=16

Resposta

16

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