A 25^{\circ} \mathrm{C}, a condutividade molar em diluição infinita do ácido propanoico é 386,6 \mathrm{S} \mathrm{cm}^{2} \mathrm{~mol}^{-1} e a sua constante de ionização é 1,4 \times 10^{-5}. Calcule a condutividade molar de uma solução de ácido propanóico 0,05 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} a 25^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a condutividade molar de uma solução de ácido propanoico com concentração 0,05\\ \mathrm{mol\,L^{-1}} a 25^\circ\mathrm{C}. Dados fornecidos:
\Lambda_m^\circ = 386{,}6\\ \mathrm{S\,cm^{2}\,mol^{-1}}
K_a = 1{,}4\times 10^{-5}
c = 0{,}05\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
O que eu preciso encontrar é \Lambda_m (condutividade molar da solução à concentração dada).

Passo 2

Conceito essencial e relação usada: para um ácido fraco que se ioniza parcialmente com grau de ionização \alpha, a condutividade molar da solução é proporcional ao grau de ionização e ao valor em diluição infinita. A relação é
\Lambda_m = \alpha\,\Lambda_m^\circ,
onde
  • \Lambda_m é a condutividade molar da solução (unidades \mathrm{S\,cm^{2}\,mol^{-1}}),
  • \Lambda_m^\circ é a condutividade molar em diluição infinita (quando o eletrólito está totalmente dissociado),
  • \alpha é a fração da espécie que está dissociada (adi mensional, entre 0 e 1).
Explicando didaticamente: \Lambda_m^\circ representa a condutividade molar quando cada mol do ácido fornece as correntes dos íons H+ e A− ao máximo. Se apenas uma fração \alpha se ioniza, a condutividade será \alpha vezes essa máxima.

Passo 3

Precisamos encontrar \alpha. Para o equilíbrio de ionização do ácido monoprótico \mathrm{HA} \rightleftharpoons \mathrm{H^+} + \mathrm{A^-}, com concentração inicial c e grau de ionização \alpha, as concentrações no equilíbrio são:
[\mathrm{H^+}] = c\alpha,\qquad [\mathrm{A^-}] = c\alpha,\qquad [\mathrm{HA}] = c(1-\alpha).
A constante de ionização é
K_a = \frac{[\mathrm{H^+}][\mathrm{A^-}]}{[\mathrm{HA}]} = \frac{(c\alpha)(c\alpha)}{c(1-\alpha)} = \frac{c\alpha^2}{1-\alpha}.
Esta é a fórmula que relaciona K_a, c e \alpha. Vou rearranjar para obter uma equação em \alpha.

Passo 4

Reescrevendo K_a = \dfrac{c\alpha^2}{1-\alpha} e multiplicando ambos os lados por 1-\alpha:
K_a (1-\alpha) = c\alpha^2.
Expandindo e colocando em forma de equação quadrática:
c\alpha^2 + K_a\alpha - K_a = 0.
Esta é uma equação quadrática em \alpha da forma A\alpha^2 + B\alpha + C = 0, com
A = c,\quad B = K_a,\quad C = -K_a.
A solução positiva (física) para \alpha vem da fórmula de Bhaskara:
\alpha = \frac{-B + \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}.
Substituindo A, B, C obtemos
\alpha = \frac{-K_a + \sqrt{K_a^2 + 4cK_a}}{2c}.

Passo 5

Agora vou calcular numericamente \alpha usando os valores dados. Primeiro calculo o discriminante:
K_a^2 + 4cK_a = K_a(K_a + 4c).
Substituindo números (atenção ao uso de vírgula decimal):
K_a + 4c = 1{,}4\times10^{-5} + 4\times 0{,}05 = 1{,}4\times10^{-5} + 0{,}20 = 0{,}200014.
K_a(K_a + 4c) = 1{,}4\times10^{-5}\times 0{,}200014 = 2{,}800196\times10^{-6}.
A raiz quadrada é
\sqrt{K_a^2 + 4cK_a} = \sqrt{2{,}800196\times10^{-6}} \approx 1{,}673\times10^{-3}.
Agora o numerador:
- K_a + \sqrt{K_a^2 + 4cK_a} = -1{,}4\times10^{-5} + 1{,}673\times10^{-3} = 1{,}659\times10^{-3}.
E o denominador é 2c = 2\times 0{,}05 = 0{,}10. Portanto
\alpha = \frac{1{,}659\times10^{-3}}{0{,}10} = 0{,}01659.
Interpretação: apenas cerca de 1{,}659\% do ácido está dissociado nessa concentração — faz sentido para um ácido fraco.
Observação prática (atalho que você pode usar na prova): quando \alpha é pequeno, uma boa aproximação é
\alpha \approx \sqrt{\frac{K_a}{c}}.
Se eu usar essa aproximação obtenho
\alpha \approx \sqrt{\frac{1{,}4\times10^{-5}}{0{,}05}} = \sqrt{2{,}8\times10^{-4}} \approx 0{,}01673,
que difere muito pouco da solução exata 0{,}01659. Então a aproximação é válida aqui.

Passo 6

Finalmente calculo a condutividade molar:
\Lambda_m = \alpha\,\Lambda_m^\circ.
Substituindo valores:
\Lambda_m = 0{,}01659 \times 386{,}6\\ \mathrm{S\,cm^{2}\,mol^{-1}}.
Faço a multiplicação:
\Lambda_m \approx 6{,}41\\ \mathrm{S\,cm^{2}\,mol^{-1}}.

Resposta

6{,}41\\ \mathrm{S\,cm^{2}\,mol^{-1}}

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