Ar a 25^{\circ} \mathrm{C}\left(\rho=1,184 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mu=1,85 \times 10^{-5} \mathrm{~kg} / \mathrm{m} . \mathrm{s}\right) escoa com uma vazão de 0,0566 \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s} num tubo de ferro forjado instalado na horizontal. Determine o diâmetro mínimo necessário, sabendo que a queda de pressão na tubulação não deve exceder 113 Pa por metro de tubo.

Passo 1

O enunciado diz que ar a 25^{\circ}\mathrm{C} (com \rho=1{,}184\\ \mathrm{kg/m^3} e \mu=1{,}85\times10^{-5}\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}) escoa com vazão Q=0{,}0566\\ \mathrm{m^3/s} por um tubo horizontal de ferro forjado. Queremos o diâmetro D mínimo de modo que a perda de carga não exceda \Delta p/L =113\\ \mathrm{Pa/m}. Vamos usar a fórmula de Darcy–Weisbach e estimar o fator de atrito com a correlação de Blasius.

Passo 2

A velocidade média do escoamento em função de Q e D é
v \;=\;\frac{Q}{A}\;=\;\frac{Q}{\pi D^2/4} \;=\;\frac{4\,Q}{\pi\,D^2}.

Passo 3

O número de Reynolds é
\mathrm{Re} \;=\;\frac{\rho\,v\,D}{\mu} \;=\;\frac{\rho}{\mu}\,\frac{4\,Q}{\pi\,D} \;=\;\frac{4\,\rho\,Q}{\pi\,\mu\,D}.

Passo 4

Como esperamos escoamento totalmente turbulento (vamos verificar depois), usamos a correlação de Blasius válida para 4{,}000<\mathrm{Re}<10^5:
f \;=\;0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-0,25}.

Passo 5

A perda de carga por metro segundo Darcy–Weisbach é
\frac{\Delta p}{L} \;=\; f\;\frac{\rho\,v^2}{2\,D}.

Passo 6

Substituindo v e f em termos de D obtemos uma equação da forma
\frac{\Delta p}{L} \;=\; C\,D^{-4{,}75},
onde
C = 0{,}3164\;\frac{8}{\pi^2}\; \rho\,Q^2\; \Bigl(\frac{4\,\rho\,Q}{\pi\,\mu}\Bigr)^{-0,25}.
Calculando numericamente: \rho Q^2\approx0{,}003793, \bigl(4\rho Q/(\pi\mu)\bigr)^{-0,25}\approx0{,}1212, \tfrac{8\cdot0{,}3164}{\pi^2}\approx0{,}2566,
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C\approx0{,}0001180.

Passo 7

Igualando \Delta p/L=113\\ \mathrm{Pa/m} e resolvendo para D:
113 = 0{,}0001180\;D^{-4{,}75} \quad\Longrightarrow\quad D^{4{,}75} = \frac{0{,}0001180}{113} \quad\Longrightarrow\quad D = \Bigl(\frac{0{,}0001180}{113}\Bigr)^{1/4{,}75} \approx 0{,}0550\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Com D\approx0{,}0550\\ \mathrm{m}, o número de Reynolds fica
\mathrm{Re} = \frac{4\,\rho\,Q}{\pi\,\mu\,D}\approx\frac{4\cdot1{,}184\cdot0{,}0566}{\pi\cdot1{,}85\times10^{-5}\cdot0{,}0550}\approx8{,}4\times10^4,
que confirma \mathrm{Re}>4000 e valida o uso de Blasius.

Resposta

O diâmetro mínimo necessário é aproximadamente 0{,}055\\ \mathrm{m} (55 mm).

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