Um fluido com \rho=875 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \mu=1,13 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}.s escoa em um capilar com 2,22 mm de diâmetro e 31,7 \mathrm{~cm} de comprimento. Qual a queda de pressão necessária para manter o escoamento com uma vazão de 1,066 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado nos dá um fluido com densidade \rho=875,kg/ m^{3} e viscosidade dinâmica \mu=1{,}13\times10^{-3},P a\cdot s escorrendo por um capilar de diâmetro D=2{,}22,mm e comprimento L=0{,}317,m com vazão volumétrica Q=1{,}066\times10^{-6}, m^{3}/s. Precisamos calcular a queda de pressão \Delta P necessária, assumindo escoamento laminar e aplicando a lei de Hagen–Poiseuille.

Passo 2

Primeiro, verificamos se o escoamento é laminar calculando o número de Reynolds. A velocidade média é
V = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{\pi D^2/4}.
O diâmetro em metros é D=0{,}00222,m, logo
A = \frac{\pi (0{,}00222)^2}{4}\approx3{,}87\times10^{-6}\text{ m}^2,
V = \frac{1{,}066\times10^{-6}}{3{,}87\times10^{-6}}\approx0{,}275\text{ m/s}.
Então
\mathrm{Re} = \frac{\rho V D}{\mu} = \frac{875\cdot0{,}275\cdot0{,}00222}{1{,}13\times10^{-3}} \approx474,
que é menor que 2300, confirmando escoamento laminar.

Passo 3

Para escoamento laminar em tubo circular, a lei de Hagen–Poiseuille dá
Q = \frac{\pi R^4}{8\mu L}\,\Delta P,
onde R=D/2. Reorganizando para \Delta P, obtemos
\Delta P = \frac{8\,\mu\,L\,Q}{\pi R^4} = \frac{128\,\mu\,L\,Q}{\pi D^4}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos:
\Delta P = \frac{128\,(1{,}13\times10^{-3})\,(0{,}317)\,(1{,}066\times10^{-6})} {\pi\,(0{,}00222)^4} \approx6{,}41\times10^2\text{ Pa}.

Resposta

A queda de pressão necessária é aproximadamente 6,4\times10^2,Pa.

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