[25%] Considere a EDO de primeira ordem geral
Mostre que a EDO abaixo é exata e resolva a equação dada:
Passo 1
Beleza, a questão pede pra gente mostrar que a EDO
é exata e depois resolver ela. Isso cai na matéria de EDOs exatas. O que a gente precisa fazer é:
- Identificar
e . - Verificar a condição de exatidão
. - Encontrar a função potencial
tal que .
Passo 2
Primeiro, vamos checar se a equação é exata. A condição é
Calculemos cada uma:
Como
, tá confirmado que a EDO é exata.
Passo 3
Sendo exata, existe uma função
tal que
Pra achar
, integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Passo 4
Agora derivamos
em relação a
e igualamos a
pra achar
:
Isso tem de ser igual a
. Logo,
Integramos
em
:
Podemos absorver
na constante final.
Então
Resposta
A solução geral da EDO é dada por
onde
é constante.