[25%] Considere a EDO de primeira ordem geral
M(x, y) d x+N(x, y) d y=0
Mostre que a EDO abaixo é exata e resolva a equação dada:
(5 y+6 x^2) d x+(8 y^3+5 x) d y=0

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente mostrar que a EDO
(5y + 6x^2),dx + (8y^3 + 5x),dy = 0
é exata e depois resolver ela. Isso cai na matéria de EDOs exatas. O que a gente precisa fazer é:
  1. Identificar M(x,y) = 5y + 6x^2 e N(x,y) = 8y^3 + 5x.
  2. Verificar a condição de exatidão partial Mpartial y = partial Npartial x.
  3. Encontrar a função potencial Phi(x,y) tal que dPhi = M,dx + N,dy.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se a equação é exata. A condição é
partial Mpartial y stackrel?= partial Npartial x
Calculemos cada uma:
partial Mpartial y = partialpartial y(5y + 6x^2) = 5,
partial Npartial x = partialpartial x(8y^3 + 5x) = 5
Como partial Mpartial y = 5 = partial Npartial x, tá confirmado que a EDO é exata.

Passo 3

Sendo exata, existe uma função Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x = M(x,y) = 5y + 6x^2, partial Phipartial y = N(x,y) = 8y^3 + 5x
Pra achar Phi, integramos M em relação a x, tratando y como constante:
Phi(x,y) = integral (5y + 6x^2),dx = 5y integral dx + 6 integral x^2 dx = 5yx + 2x^3 + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Agora derivamos Phi em relação a y e igualamos a N pra achar h(y):
partial Phipartial y = partialpartial y(5yx + 2x^3 + h(y)) = 5x + h'(y)
Isso tem de ser igual a N(x,y)=8y^3 + 5x. Logo,
5x + h'(y) = 8y^3 + 5x Longrightarrow h'(y) = 8y^3
Integramos h'(y) em y:
h(y) = integral 8y^3,dy = 2y^4 + C1
Podemos absorver C1 na constante final.
Então
Phi(x,y) = 5xy + 2x^3 + 2y^4

Resposta

A solução geral da EDO é dada por
5xy + 2x^3 + 2y^4 = C,
onde C é constante.

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