[25%] Resolva o seguinte PVI:
l d yd x+5 y=3 y(0)=15 ; y=y(x)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que tá rolando: o exercício é resolver o PVI
dydx + 5y = 3, y(0) = 15
Isso é uma equação diferencial linear de 1ª ordem. Pra resolver, a gente vai usar o método do fator integrante, integrar a equação e depois usar a condição inicial pra achar a constante.

Passo 2

Uma equação linear de 1ª ordem tem o formato
dydx + P(x),y = Q(x)
No nosso caso, P(x)=5 e Q(x)=3. A ideia do fator integrante mu(x) é transformar o lado esquerdo em uma derivada exata. A gente define
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 5,dx = e^5x

Passo 3

Multiplicando a equação toda por mu(x)=e^5x, fica
e^5xdydx + 5e^5xy = 3e^5x
Pela regra do produto, o lado esquerdo é exatamente
ddxl(e^5xyr)
Então a equação vira
ddxl(e^5xyr) = 3e^5x

Passo 4

Agora a gente integra ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(e^5xyr),dx = integral 3e^5x,dx
No lado esquerdo sobra e^5xy. No direito,
integral 3e^5x,dx = 3cdot 15e^5x + C = 35e^5x + C
Logo,
e^5xy = 35e^5x + C

Passo 5

Pra isolar y, divide por e^5x:
y = tfrac35e^5x + Ce^5x = 35 + C e^-5x

Passo 6

Falta achar C com a condição y(0)=15:
y(0) = 35 + C e^0 = 35 + C = 15
Daí
C = 15 - 35 = -25

Resposta

y(x) = 35 - 25e^-5x

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