Use a fórmula para o calcular o comprimento de arco para determinar o comprimento da curva y=raiza^2-x^2, para -a <= x <= a. Compare sua resposta com a expressão clássica da geometria euclideana.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva ,y=raiza^2-x^2 para -a<= x<= a. O conteúdo é comprimento de arco de uma função y(x), cuja fórmula é
L=integralx1^x2raiz1+l(y'(x)r)^2;dx

Passo 2

Calcular a derivada de y. Como
y=raiza^2-x^2=(a^2-x^2)^1/2,
temos
y'=12(a^2-x^2)^-1/2cdot(-2x)=-xraiza^2-x^2

Passo 3

Montar o integrando:
1+(y')^2 =1+x^2a^2-x^2 =a^2a^2-x^2 Longrightarrow raiz1+(y')^2 =araiza^2-x^2
Logo
L =integral-a^aaraiza^2-x^2;dx

Passo 4

Avaliar a integral usando
integraldxraiza^2-x^2=arcsin!l(x/ar)
Portanto
L =al[arcsin!l(x/ar)r]-a^a =al(tfracpi2-(-tfracpi2)r) =api

Passo 5

Comparação: na geometria euclidiana o comprimento de meio-círculo de raio a é pi a. Obtivemos exatamente esse valor.

Resposta

O comprimento da curva é L=pi a, coincidindo com o perímetro clássico do semicírculo de raio a.

Exercícios relacionados