Em cada um dos itens abaixo mostre diretamente que as funções dadas são linearmente dependentes na reta real. Isto é, encontre uma combinação linear não trivial das funções dadas que se anula identicamente.
f(x)=17, g(x)=cos ^2 x, h(x)=cos 2 x

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=17, g(x)=cos^2 x e h(x)=cos2x definidas em R e pede para mostrarmos que são linearmente dependentes, isto é, encontrar escalares a,b,c, não todos nulos, tais que
a,f(x)+b,g(x)+c,h(x)=0para todo xin R
Vamos usar a identidade trigonométrica que relaciona cos2x e cos^2x.

Passo 2

A identidade conhecida é
cos2x = 2cos^2x - 1
Reescrevendo, obtemos
cos2x - 2cos^2x + 1 = 0

Passo 3

Como f(x)=17 é constante, temos 1 = tfrac117f(x). Substituindo esse 1 na identidade acima:
cos2x - 2cos^2x + tfrac117f(x) = 0
Multiplicando tudo por 17 para eliminar o denominador, fica
17cos2x - 34cos^2x + f(x) = 0
Por fim, como cos^2x = g(x) e cos2x = h(x), obtemos
f(x) -34,g(x) +17,h(x) = 0,
que é a combinação linear não trivial desejada.

Resposta

A combinação linear que se anula é
f(x) -34,g(x) +17,h(x) = 0

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