Determine o comprimento das seguintes curvas
y=(x+4)^3 / 2, com 0 <= x <= 4.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva definida por
y = (x+4)^3/2
para 0 <= x <= 4.
O conteúdo é comprimento de arco de uma curva y=f(x), que usamos a fórmula
L = integrala^b raiz1 + l(f'(x)r)^2,dx

Passo 2

Calculamos a derivada de y. Como y=(x+4)^3/2, vale
y' = ddx(x+4)^3/2 = 32(x+4)^1/2

Passo 3

Montamos o integrando:
1 + l(y'r)^2 = 1 + 94(x+4) = 9x+404,
logo
raiz1 + l(y'r)^2 = 12raiz9x+40

Passo 4

O comprimento de arco fica
L = integral0^4 raiz1 + l(y'r)^2,dx = 12integral0^4 raiz9x+40,dx

Passo 5

Fazemos a substituição u = 9x+40, então du = 9,dx e dx = tfracdu9.
Quando x=0, u=40; quando x=4, u=76. Assim
L = 12integral40^76 raizu;du9 = 118integral40^76 u^1/2,du = 118cdot23l[u^3/2r]40^76 = 127l(76^3/2 - 40^3/2r)

Passo 6

Para simplificar, note que
76^3/2 = l(raiz76r)^3 = (2raiz19)^3 = 152raiz19, 40^3/2 = (2raiz10)^3 = 80raiz10
Logo
L = 127l(152raiz19 - 80raiz10r) = 8l(19raiz19 - 10raiz10r)27

Resposta

L = 152raiz19 - 80raiz1027 = 8l(19raiz19 - 10raiz10r)27

Exercícios relacionados