8.25 Dado o campo \mathbf{H}=\frac{1}{2} \cos \frac{\varphi}{2} \mathbf{a}{\rho}-\operatorname{sen} \frac{\varphi}{2} \mathbf{a}{\rho} \mathrm{A} / \mathrm{m}, calcule ambos os lados do teorema de Stokes para o caminho formado pela interseção do cilindro \rho=3 \mathrm{e} do plano z=2 e para a superficie definida por \rho=3,0 \leq z \leq 2 \mathrm{e} z=0,0 \leq \rho \leq 3.

Passo 1

O enunciado dá um campo vetorial e pede para calcular “ambos os lados do teorema de Stokes” para um caminho e uma superfície específicas. Vamos deixar tudo claro e enumerar os dados e o que é pedido:
  • O campo (peguei do enunciado; notei que o segundo versor parece ter sido escrito duas vezes, vou interpretar a forma razoável e usual) é
\mathbf{H}=\frac{1}{2}\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)\mathbf{a}_\rho-\sin\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)\mathbf{a}_\varphi\quad\text{(A/m)}.
  • O caminho C é a curva formada pela interseção do cilindro \rho=3 com o plano z=2. Ou seja, é a circunferência de raio \rho=3 no plano z=2. Uma parametrização natural é \rho=3, z=2, \varphi\in[0,2\pi].
  • A superfície S pedida pelo enunciado é a superfície formada pela parede lateral do cilindro \rho=3 com 0\le z\le2 juntamente com o disco no plano z=0 com 0\le\rho\le3. Ou seja, S=S_{\text{lateral}}\cup S_{\text{fundo}}. O contorno dessa superfície é exatamente a circunferência C no topo ( \rho=3,\\ z=2).
  • O enunciado quer que a gente calcule:
    1. A integral de linha (o lado esquerdo do teorema de Stokes): \displaystyle \oint_C \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}.
    2. A integral de superfície do rotacional (o lado direito do teorema): \displaystyle \iint_{S} (\nabla\times\mathbf{H})\cdot d\mathbf{S}.
  • Observação importante (vou tratar detalhadamente depois): as funções \cos(\varphi/2) e \sin(\varphi/2) mudam de sinal quando \varphi percorre uma volta completa ( \varphi\to\varphi+2\pi). Isso significa que \mathbf{H} não é globalmente contínuo e single‑valued ao redor do círculo completo sem escolher um “corte” (branch cut) em \varphi=0. Isso influencia como aplicar o teorema de Stokes quando a superfície cruza esse corte — vou explicar e lidar com isso nos passos seguintes.

Passo 2

Vou calcular primeiro a integral de linha diretamente (passo a passo) para a curva C. Depois calculo o rotacional \nabla\times\mathbf{H} em coordenadas cilíndricas e integro sobre a superfície S descrita (lateral + fundo). Explico também a questão da descontinuidade em \varphi=0 e mostro como ela gera uma contribuição extra que precisa ser somada às integrais de superfície dos pedaços para recuperar a igualdade do teorema de Stokes.
Antes de começar a conta: lembrando a expressão para o elemento de comprimento em coordenadas cilíndricas, quando \rho= constante e z= constante,
d\mathbf{l}=\rho\,d\varphi\,\mathbf{a}_\varphi.
No nosso caso \rho=3, d\mathbf{l}=3\,d\varphi\,\mathbf{a}_\varphi.

Passo 3

Cálculo da integral de linha \displaystyle \oint_C \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}.
  • Em C temos \rho=3, z=2 e \varphi varia de 0 a 2\pi. O elemento é d\mathbf{l}=3\,d\varphi\,\mathbf{a}_\varphi.
  • Produto escalar:
\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = \left(\frac{1}{2}\cos\!\frac{\varphi}{2}\,\mathbf{a}_\rho - \sin\!\frac{\varphi}{2}\,\mathbf{a}_\varphi\right)\cdot\left(3\,d\varphi\,\mathbf{a}_\varphi\right).
Como \mathbf{a}_\rho\cdot\mathbf{a}_\varphi=0 e \mathbf{a}_\varphi\cdot\mathbf{a}_\varphi=1,
\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = 3\left(-\sin\!\frac{\varphi}{2}\right)d\varphi = -3\sin\!\frac{\varphi}{2}\,d\varphi.
  • Integrando de 0 a 2\pi:
\oint_C \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = -3\int_{0}^{2\pi}\sin\!\frac{\varphi}{2}\,d\varphi.
  • Calcule a integral básica: faça u=\varphi/2\Rightarrow d\varphi=2\,du, \varphi=0\to u=0, \varphi=2\pi\to u=\pi:
\int_{0}^{2\pi}\sin\!\frac{\varphi}{2}\,d\varphi = 2\int_{0}^{\pi}\sin u\,du = 2\big[-\cos u\big]_0^{\pi} = 2(-\cos\pi + \cos 0) = 2(-(-1)+1)=2(2)=4.
  • Assim
\oint_C \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = -3\cdot 4 = -12.
Concluo: a integral de linha ao longo de C (orientada com \varphi crescente) é \displaystyle -12.

Passo 4

Agora precisamos do rotacional \nabla\times\mathbf{H}. Vou usar a fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas para um campo \mathbf{A}=A_\rho\mathbf{a}_\rho+A_\varphi\mathbf{a}_\varphi+A_z\mathbf{a}_z:
(\nabla\times\mathbf{A})_z=\frac{1}{\rho}\left[\frac{\partial(\rho A_\varphi)}{\partial \rho}-\frac{\partial A_\rho}{\partial \varphi}\right],
e as outras componentes
(\nabla\times\mathbf{A})_\rho=\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_z}{\partial\varphi}-\frac{\partial A_\varphi}{\partial z},\qquad (\nabla\times\mathbf{A})_\varphi=\frac{\partial A_\rho}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial \rho}.
No nosso caso A_\rho=\dfrac{1}{2}\cos\!\dfrac{\varphi}{2}, A_\varphi=-\sin\!\dfrac{\varphi}{2}, A_z=0. Observe que não há dependência em z nem em \rho nas componentes (apenas em \varphi). Portanto:
  • (\nabla\times\mathbf{H})_\rho=0 (porque \partial A_z/\partial\varphi=0 e \partial A_\varphi/\partial z=0);
  • (\nabla\times\mathbf{H})_\varphi=0 (porque \partial A_\rho/\partial z=0 e \partial A_z/\partial\rho=0);
  • A componente z vale
(\nabla\times\mathbf{H})_z=\frac{1}{\rho}\left[\frac{\partial(\rho A_\varphi)}{\partial\rho}-\frac{\partial A_\rho}{\partial\varphi}\right].
Como A_\varphi não depende de \rho, \partial(\rho A_\varphi)/\partial\rho = A_\varphi. Além disso
\frac{\partial A_\rho}{\partial\varphi}=\frac{\partial}{\partial\varphi}\left(\tfrac{1}{2}\cos\!\tfrac{\varphi}{2}\right)=\tfrac{1}{2}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\sin\!\tfrac{\varphi}{2}\right)=-\tfrac{1}{4}\sin\!\tfrac{\varphi}{2}.
Então
(\nabla\times\mathbf{H})_z=\frac{1}{\rho}\Big[-\sin\!\tfrac{\varphi}{2}-\big(-\tfrac{1}{4}\sin\!\tfrac{\varphi}{2}\big)\Big] =\frac{1}{\rho}\Big(-\tfrac{3}{4}\sin\!\tfrac{\varphi}{2}\Big) =-\frac{3}{4}\,\frac{\sin\!\tfrac{\varphi}{2}}{\rho}.
Portanto
\nabla\times\mathbf{H}=-\frac{3}{4}\,\frac{\sin\!\tfrac{\varphi}{2}}{\rho}\,\mathbf{a}_z.
Vou usar essa expressão para integrar sobre a superfície S.

Passo 5

Cálculo da integral de superfície \displaystyle \iint_S (\nabla\times\mathbf{H})\cdot d\mathbf{S}. Lembrando que S=S_{\text{lateral}}\cup S_{\text{fundo}}. Faço a soma das contribuições dos dois pedaços.
  1. Contribuição da superfície lateral S_{\text{lateral}} (o cilindro \rho=3, 0\le z\le 2):
  • Normal da parede lateral é \mathbf{a}_\rho (para a orientação externa do cilindro), mas o rotacional tem apenas componente em \mathbf{a}_z. Logo (\nabla\times\mathbf{H})\cdot\mathbf{a}_\rho=0 em toda a lateral.
  • Portanto a contribuição da lateral é zero:
\iint_{S_{\text{lateral}}}(\nabla\times\mathbf{H})\cdot d\mathbf{S}=0.
  1. Contribuição do disco de fundo S_{\text{fundo}} (plano z=0, 0\le\rho\le3):
  • O versor normal para esse disco, para combinar com a orientação do contorno que usamos (isto é, \varphi aumentando em C), devemos analisar a regra da mão direita. Se a curva C é parametrizada com \varphi aumentando (como fizemos), então o normal consistente numa face plana acima do plano (visto do vértice do normal) é \mathbf{a}_z positivo. Aqui, nós escolhemos o conjunto de superfícies S_{\text{lateral}}\cup S_{\text{fundo}} de forma que o disco de fundo tem normal apontando para cima ou para baixo? Para manter consistência e obter o contorno correto (detalhes de orientação são tratados abaixo), é mais simples calcular com o normal para cima \mathbf{a}_z e depois prestar atenção nas junções. Vou tomar aqui d\mathbf{S}=\mathbf{a}_z\,\rho\,d\rho\,d\varphi (normal para cima).
  • Então
\iint_{S_{\text{fundo}}}(\nabla\times\mathbf{H})\cdot d\mathbf{S} = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}\left(-\frac{3}{4}\frac{\sin\!\tfrac{\varphi}{2}}{\rho}\right)\cdot(\rho\,d\rho\,d\varphi).
  • O \rho cancela:
= -\frac{3}{4}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}\sin\!\tfrac{\varphi}{2}\,d\rho\,d\varphi = -\frac{3}{4}\left(\int_{0}^{3}d\rho\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\sin\!\tfrac{\varphi}{2}\,d\varphi\right).
  • \displaystyle\int_{0}^{3}d\rho=3. Já calculamos antes \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin\!\tfrac{\varphi}{2}\,d\varphi=4. Assim
\iint_{S_{\text{fundo}}}(\nabla\times\mathbf{H})\cdot d\mathbf{S} = -\frac{3}{4}\cdot 3 \cdot 4 = -9.
Portanto, somando as duas partes (lateral zero + fundo), obtemos inicialmente
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{H})\cdot d\mathbf{S} = 0 + (-9) = -9.

Passo 6

Agora eu explico a questão crucial: por que obtivemos \oint_C \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=-12 mas a soma direta das integrais de superfície nos deu -9? Isso parece violar o teorema de Stokes — mas não viola se levarmos em conta que \mathbf{H} não é contínuo ao redor de \varphi\to\varphi+2\pi.
  • As funções \cos(\varphi/2) e \sin(\varphi/2) mudam de sinal quando \varphi vai de 0 a 2\pi. Logo \mathbf{H}(\varphi+2\pi)=-\mathbf{H}(\varphi). O campo tem uma descontinuidade efetiva ao longo do raio definido por \varphi=0 (ou seja, há um “corte” radial onde o valor do campo salta). Para aplicar o teorema de Stokes usando uma superfície composta por duas peças S_{\text{lateral}} e S_{\text{fundo}} foi necessário escolher uma forma de colar essas peças; o “corte” atravessa o disco de fundo ao longo da semi‑reta \varphi=0, 0\le\rho\le3. Ao somar as integrais de \nabla\times\mathbf{H} em cada pedaço, se o campo for descontínuo ao longo de uma aresta interna (o corte), aparece uma contribuição extra igual à integral do salto do campo ao longo dessa aresta interna. Em termos práticos: quando dividimos a superfície em pedaços e aplicamos Stokes em cada pedaço, as integrais de contorno internas se cancelam apenas se \mathbf{H} for contínuo nessas arestas internas; se houver salto, o cancelamento não é completo e sobra uma integral de contorno que tem de ser somada.
  • No nosso caso, o corte que torna \mathbf{H} single‑valued pode ser tomado ao longo da semi‑reta \varphi=0 no disco de z=0, com \rho indo de 0 a 3. Ao aproximar a semi‑reta por dois limites, um com \varphi\to0^+ e outro com \varphi\to2\pi^-, os valores de \mathbf{H} nesses dois lados diferem. Precisamos calcular a contribuição deste salto.

Passo 7

Cálculo explícito da contribuição do salto ao longo do corte (aresta interna) e soma final.
  • Parametrizamos a semi‑reta do corte no disco de z=0 por \rho\in[0,3], \varphi=0 (do lado “direito”) e \varphi=2\pi (do lado “esquerdo”, na outra folha). O diferencial de comprimento ao longo dessa semi‑reta é d\mathbf{l}=\mathbf{a}_\rho\,d\rho.
  • Valores laterais do campo perto do corte:
    • Lado direito (limite \varphi\to0^+): \displaystyle \mathbf{H}(0^+) = \frac{1}{2}\cos 0\,\mathbf{a}_\rho - \sin 0\,\mathbf{a}_\varphi = \frac{1}{2}\mathbf{a}_\rho.
    • Lado esquerdo (limite \varphi\to2\pi^-): \displaystyle \mathbf{H}(2\pi^-)=\frac{1}{2}\cos\pi\,\mathbf{a}_\rho - \sin\pi\,\mathbf{a}_\varphi = -\frac{1}{2}\mathbf{a}_\rho.
  • O salto (diferença) ao atravessar o corte (\text{esquerdo} - \text{direito}) é
\Delta\mathbf{H} = \mathbf{H}(2\pi^-)-\mathbf{H}(0^+) = -\tfrac{1}{2}\mathbf{a}_\rho - \tfrac{1}{2}\mathbf{a}_\rho = -1\cdot\mathbf{a}_\rho.
  • A contribuição desse salto para o balanço das integrais de superfície é a integral do salto ao longo da semi‑reta (com a orientação correta determinada pela montagem das superfícies). Tomando a orientação de integração no sentido crescente de \rho (da origem para \rho=3), a contribuição é
\int_{0}^{3}\Delta\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = \int_{0}^{3}\big(-\mathbf{a}_\rho\big)\cdot\big(\mathbf{a}_\rho\,d\rho\big) = \int_{0}^{3}(-1)\,d\rho = -3.
  • Interpretando isso no contexto: quando somamos a integral sobre o disco de fundo (que deu -9) e a integral sobre a lateral (zero), devemos também somar a contribuição do salto interna -3. Então a integral total sobre a superfície “cola” (incluindo o efeito do corte) fica
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{H})\cdot d\mathbf{S} \;+\; \text{contribuição do salto} = (-9) + (-3) = -12.çã

Passo 8

Conclusão final e verificação do teorema de Stokes:
  • A integral de linha direta deu \displaystyle \oint_C \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = -12.
  • A integral de superfície do rotacional sobre as peças dadas, mais a contribuição gerada pelo salto de \mathbf{H} ao longo do corte (necessária porque \mathbf{H} não é single‑valued ao redor de \varphi), soma -9 + (-3) = -12.
  • Portanto, levando em conta a descontinuidade (e tratando corretamente o corte), os dois lados coincidem, como manda o teorema de Stokes.

Resposta

\displaystyle \oint_C \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=-12.\n
\displaystyle \iint_{S}(\nabla\times\mathbf{H})\cdot d\mathbf{S}=-12.

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