8.25 Dado o campo \mathbf{H}=\frac{1}{2} \cos \frac{\varphi}{2} \mathbf{a}{\rho}-\operatorname{sen} \frac{\varphi}{2} \mathbf{a}{\rho} \mathrm{A} / \mathrm{m}, calcule ambos os lados do teorema de Stokes para o caminho formado pela interseção do cilindro \rho=3 \mathrm{e} do plano z=2 e para a superficie definida por \rho=3,0 \leq z \leq 2 \mathrm{e} z=0,0 \leq \rho \leq 3.
Passo 1
O enunciado dá um campo vetorial e pede para calcular “ambos os lados do teorema de Stokes” para um caminho e uma superfície específicas. Vamos deixar tudo claro e enumerar os dados e o que é pedido:
- O campo (peguei do enunciado; notei que o segundo versor parece ter sido escrito duas vezes, vou interpretar a forma razoável e usual) é
- O caminho
é a curva formada pela interseção do cilindro com o plano . Ou seja, é a circunferência de raio no plano . Uma parametrização natural é , , . - A superfície
pedida pelo enunciado é a superfície formada pela parede lateral do cilindro com juntamente com o disco no plano com . Ou seja, . O contorno dessa superfície é exatamente a circunferência no topo ( ). - O enunciado quer que a gente calcule:
- A integral de linha (o lado esquerdo do teorema de Stokes):
. - A integral de superfície do rotacional (o lado direito do teorema):
.
- A integral de linha (o lado esquerdo do teorema de Stokes):
- Observação importante (vou tratar detalhadamente depois): as funções
e mudam de sinal quando percorre uma volta completa ( ). Isso significa que não é globalmente contínuo e single‑valued ao redor do círculo completo sem escolher um “corte” (branch cut) em . Isso influencia como aplicar o teorema de Stokes quando a superfície cruza esse corte — vou explicar e lidar com isso nos passos seguintes.
Passo 2
Vou calcular primeiro a integral de linha diretamente (passo a passo) para a curva
. Depois calculo o rotacional
em coordenadas cilíndricas e integro sobre a superfície
descrita (lateral + fundo). Explico também a questão da descontinuidade em
e mostro como ela gera uma contribuição extra que precisa ser somada às integrais de superfície dos pedaços para recuperar a igualdade do teorema de Stokes.
Antes de começar a conta: lembrando a expressão para o elemento de comprimento em coordenadas cilíndricas, quando
constante e
constante,
No nosso caso
,
.
Passo 3
Cálculo da integral de linha
.
- Em
temos , e varia de a . O elemento é . - Produto escalar:
Como
e
,
- Integrando de
a :
- Calcule a integral básica: faça
, , :
- Assim
Concluo: a integral de linha ao longo de
(orientada com
crescente) é
.
Passo 4
Agora precisamos do rotacional
. Vou usar a fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas para um campo
:
e as outras componentes
No nosso caso
,
,
. Observe que não há dependência em
nem em
nas componentes (apenas em
). Portanto:
-
(porque e ); -
(porque e ); - A componente
vale
Como
não depende de
,
. Além disso
Então
Portanto
Vou usar essa expressão para integrar sobre a superfície
.
Passo 5
Cálculo da integral de superfície
. Lembrando que
. Faço a soma das contribuições dos dois pedaços.
- Contribuição da superfície lateral
(o cilindro , ):
- Normal da parede lateral é
(para a orientação externa do cilindro), mas o rotacional tem apenas componente em . Logo em toda a lateral. - Portanto a contribuição da lateral é zero:
- Contribuição do disco de fundo
(plano , ):
- O versor normal para esse disco, para combinar com a orientação do contorno que usamos (isto é,
aumentando em ), devemos analisar a regra da mão direita. Se a curva é parametrizada com aumentando (como fizemos), então o normal consistente numa face plana acima do plano (visto do vértice do normal) é positivo. Aqui, nós escolhemos o conjunto de superfícies de forma que o disco de fundo tem normal apontando para cima ou para baixo? Para manter consistência e obter o contorno correto (detalhes de orientação são tratados abaixo), é mais simples calcular com o normal para cima e depois prestar atenção nas junções. Vou tomar aqui (normal para cima). - Então
- O
cancela:
-
. Já calculamos antes . Assim
Portanto, somando as duas partes (lateral zero + fundo), obtemos inicialmente
Passo 6
Agora eu explico a questão crucial: por que obtivemos
mas a soma direta das integrais de superfície nos deu
? Isso parece violar o teorema de Stokes — mas não viola se levarmos em conta que
não é contínuo ao redor de
.
-
As funções
e mudam de sinal quando vai de a . Logo . O campo tem uma descontinuidade efetiva ao longo do raio definido por (ou seja, há um “corte” radial onde o valor do campo salta). Para aplicar o teorema de Stokes usando uma superfície composta por duas peças e foi necessário escolher uma forma de colar essas peças; o “corte” atravessa o disco de fundo ao longo da semi‑reta , . Ao somar as integrais de em cada pedaço, se o campo for descontínuo ao longo de uma aresta interna (o corte), aparece uma contribuição extra igual à integral do salto do campo ao longo dessa aresta interna. Em termos práticos: quando dividimos a superfície em pedaços e aplicamos Stokes em cada pedaço, as integrais de contorno internas se cancelam apenas se for contínuo nessas arestas internas; se houver salto, o cancelamento não é completo e sobra uma integral de contorno que tem de ser somada. -
No nosso caso, o corte que torna
single‑valued pode ser tomado ao longo da semi‑reta no disco de , com indo de a . Ao aproximar a semi‑reta por dois limites, um com e outro com , os valores de nesses dois lados diferem. Precisamos calcular a contribuição deste salto.
Passo 7
Cálculo explícito da contribuição do salto ao longo do corte (aresta interna) e soma final.
- Parametrizamos a semi‑reta do corte no disco de
por , (do lado “direito”) e (do lado “esquerdo”, na outra folha). O diferencial de comprimento ao longo dessa semi‑reta é . - Valores laterais do campo perto do corte:
- Lado direito (limite
): - Lado esquerdo (limite
):
- Lado direito (limite
- O salto (diferença) ao atravessar o corte
é
- A contribuição desse salto para o balanço das integrais de superfície é a integral do salto ao longo da semi‑reta (com a orientação correta determinada pela montagem das superfícies). Tomando a orientação de integração no sentido crescente de
(da origem para ), a contribuição é
- Interpretando isso no contexto: quando somamos a integral sobre o disco de fundo (que deu
) e a integral sobre a lateral (zero), devemos também somar a contribuição do salto interna . Então a integral total sobre a superfície “cola” (incluindo o efeito do corte) fica
Passo 8
Conclusão final e verificação do teorema de Stokes:
- A integral de linha direta deu
. - A integral de superfície do rotacional sobre as peças dadas, mais a contribuição gerada pelo salto de
ao longo do corte (necessária porque não é single‑valued ao redor de ), soma . - Portanto, levando em conta a descontinuidade (e tratando corretamente o corte), os dois lados coincidem, como manda o teorema de Stokes.