30 Calcular os valores de m e n para que a reta r esteja contida no plano pi, sendo r:lx=1+3 t y=-2+m t e pi: 3 x-3 y+z-7=0 z=n-4 t

Passo 1

O enunciado dá a reta
r: x=1+3t, y=-2+m,t, z=n-4t,
e o plano
pi:3x-3y+z-7=0
Queremos m e n tais que toda a reta fique em pi. Em geometria analítica, isso exige duas coisas:
  1. o vetor diretor de r ser ortogonal ao vetor normal de pi,
  2. um ponto de r satisfazer a equação de pi.

Passo 2

O vetor diretor de r é
vec d=(3,;m,;-4)
e o vetor normal de pi é
vec n=(3,,-3,,1)
Para que vec d seja paralelo ao plano, precisamos
vec dcdotvec n=0 Longrightarrow 3cdot3 + mcdot(-3) + (-4)cdot1 = 0
9 - 3m -4 = 0 Longrightarrow 5 -3m = 0 Longrightarrow m = 53

Passo 3

Escolhemos t=0 para obter um ponto de r,
P=(x,y,z)|t=0=(1,,-2,,n)
Esse ponto deve satisfazer 3x-3y+z-7=0, logo
3cdot1 -3cdot(-2) + n -7 = 0 Longrightarrow 3 +6 + n -7 = 0 Longrightarrow n +2 = 0 Longrightarrow n = -2

Resposta

m = tfrac53, n = -2

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