(a) (1,25) Determine a equação cartesiana da circunferência centrada na origem que tenha a reta y+3 x-4=0 como tangente.
(b) (1,25) Escreva as equações paramétricas da circunferência encontrada no item anterior.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma circunferência centrada em (0,0) que seja tangente à reta
y + 3x - 4 = 0.
Como o centro é a origem, o raio r deve ser a distância desse ponto à reta. Depois de achar r, escrevemos a forma cartesiana \;x^2 + y^2 = r^2,
e em seguida usamos a parametrização usual \;x = r\cos t,\;y = r\sin t.

Passo 2

Usamos a fórmula da distância de (x_0,y_0) à reta Ax + By + C = 0:
\text{dist} = \frac{\bigl|A x_0 + B y_0 + C\bigr|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\,.
Aqui escrevemos a reta como
3x + 1\cdot y - 4 = 0,
de modo que A=3, B=1, C=-4 e (x_0,y_0)=(0,0). Logo
r = \frac{\bigl|3\cdot0 + 1\cdot0 - 4\bigr|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{10}}.

Passo 3

A equação cartesiana da circunferência de raio r centrada na origem é
x^2 + y^2 = r^2.
Substituindo r = \tfrac{4}{\sqrt{10}}, obtemos
x^2 + y^2 = \Bigl(\tfrac{4}{\sqrt{10}}\Bigr)^2 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}.

Passo 4

Para escrever em forma paramétrica usamos a parametrização padrão de uma circunferência de raio r\) na origem: \[\begin{cases} x = r \cos t,\\\ y = r \sin t, \end{cases}
substituindo (r = \tfrac{4}{\sqrt{10}}]:
\begin{cases} x = \tfrac{4}{\sqrt{10}}\cos t,\\\ y = \tfrac{4}{\sqrt{10}}\sin t. \end{cases}

Resposta

(a) x^2 + y^2 = \tfrac{8}{5}.
(b) \displaystyle x = \tfrac{4}{\sqrt{10}}\cos t,\quad y = \tfrac{4}{\sqrt{10}}\sin t.

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