(a) (1,25) Determine a equação cartesiana da circunferência centrada na origem que tenha a reta y+3 x-4=0 como tangente.
(b) (1,25) Escreva as equações paramétricas da circunferência encontrada no item anterior.
Passo 1
O enunciado pede a equação de uma circunferência centrada em (0,0) que seja tangente à reta
y + 3x - 4 = 0.
Como o centro é a origem, o raio r deve ser a distância desse ponto à reta. Depois de achar r, escrevemos a forma cartesiana \;x^2 + y^2 = r^2,
e em seguida usamos a parametrização usual \;x = r\cos t,\;y = r\sin t.
Passo 2
Usamos a fórmula da distância de (x_0,y_0) à reta Ax + By + C = 0:
Para escrever em forma paramétrica usamos a parametrização padrão de uma circunferência de raio r\) na origem:
\[\begin{cases} x = r \cos t,\\\ y = r \sin t, \end{cases}
substituindo (r = \tfrac{4}{\sqrt{10}}]:
\begin{cases} x = \tfrac{4}{\sqrt{10}}\cos t,\\\ y = \tfrac{4}{\sqrt{10}}\sin t. \end{cases}
Resposta
(a) x^2 + y^2 = \tfrac{8}{5}.
(b) \displaystyle x = \tfrac{4}{\sqrt{10}}\cos t,\quad y = \tfrac{4}{\sqrt{10}}\sin t.