(2,50) Dados os vetores u=(2,-3) e v=(-1,4), determine um vetor w tal que

2,30

2[(u+w)-3(v-w)]=\frac{1}{3}[u-2 w+3(2 v-w)] .

Passo 1

O enunciado dá os vetores \,u=(2,-3) e \,v=(-1,4) e pede um vetor \,w que satisfaça a equação vetorial
2\bigl[(u+w)-3(v-w)\bigr]\;=\;\tfrac13\bigl[u-2w+3(2v-w)\bigr].
O conteúdo aqui é de operações com vetores em \mathbb{R}^2: soma de vetores e multiplicação por escalar, e depois resolver para w.

Passo 2

Expandimos e simplificamos o lado esquerdo (LHS). Primeiro dentro dos colchetes:
(u+w)-3(v-w)=u+w-3v+3w=u-3v+4w.
Multiplicando por 2 vem
\mathrm{LHS}=2\,(u-3v+4w)=2u-6v+8w.

Passo 3

Agora o lado direito (RHS). Dentro do colchete:
u-2w+3(2v-w)=u-2w+6v-3w=u+6v-5w.
Multiplicando por \tfrac13
\mathrm{RHS}=\tfrac13\,(u+6v-5w)=\tfrac13u+2v-\tfrac53w.

Passo 4

Igualamos as duas expressões vetoriais:
2u-6v+8w \;=\;\tfrac13u+2v-\tfrac53w.
Para eliminar o \tfrac13, multiplicamos tudo por 3:
6u-18v+24w = u+6v-5w.
Passamos todos os termos para o lado esquerdo:
6u - u \;-\;18v -6v \;+\;24w +5w = 0 \quad\Longrightarrow\quad 5u -24v +29w = 0.

Passo 5

Isolamos w em função de u e v:
29\,w = -5u +24v \quad\Longrightarrow\quad w = -\tfrac{5}{29}\,u + \tfrac{24}{29}\,v.

Passo 6

Substituímos u=(2,-3) e v=(-1,4):
w = -\tfrac{5}{29}(2,-3) + \tfrac{24}{29}(-1,4) = \bigl(-\tfrac{10}{29},\tfrac{15}{29}\bigr)+\bigl(-\tfrac{24}{29},\tfrac{96}{29}\bigr) = \bigl(-\tfrac{34}{29},\tfrac{111}{29}\bigr).

Resposta

w = \Bigl(-\tfrac{34}{29},\,\tfrac{111}{29}\Bigr).

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