(2,50) Sejam u=\left(1,-\frac{1}{2}\right), v=(1,2) e w=(1,1).
0,20 (a) Calcule as normas de u, v, w e u-v.
(b) Calcule os produtos escalares u \cdot v, u \cdot w e v \cdot w . \quad x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}
0, \infty 0 (c) Calcule o ângulo entre u e w.
(d) Os vetores u e v são perpendiculares? Justifique.
(e) Calcule as projeções P_{u}^{w} e P_{v}^{w}.

Passo 1

Temos os vetores em \mathbb{R}^2
u = \bigl(1,-\tfrac12\bigr),\quad v=(1,2),\quad w=(1,1).
O exercício pede:
(a) normas de u,v,w e de u-v;
(b) produtos escalares u\cdot v, u\cdot w e v\cdot w;
(c) ângulo entre u e w;
(d) verificar se u e v são perpendiculares;
(e) projeções de w sobre u e de w sobre v.
Vamos usar as fórmulas da norma euclidiana, do produto escalar, da definição de ângulo via cosseno e da projeção ortogonal:
\text{proj}_a(b)=\frac{b\cdot a}{a\cdot a}\,a.

Passo 2

Calcular as normas usando \|x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2}:
\|u\|=\sqrt{1^2+\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^2} =\sqrt{1+\tfrac14} =\sqrt{\tfrac54} =\tfrac{\sqrt5}{2},
\|v\|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5,
\|w\|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2.
Para u-v temos
u-v=\bigl(1-1,\,-\tfrac12-2\bigr)=(0,-\tfrac52),
logo
\|u-v\|=\sqrt{0^2+(-\tfrac52)^2}=\tfrac52.

Passo 3

Calcular os produtos escalares:
u\cdot v =1\cdot1+(-\tfrac12)\cdot2 =1-1 =0,
u\cdot w =1\cdot1+(-\tfrac12)\cdot1 =1-\tfrac12 =\tfrac12,
v\cdot w =1\cdot1+2\cdot1 =3.

Passo 4

O ângulo \theta entre u e w satisfaz
\cos\theta =\frac{u\cdot w}{\|u\|\;\|w\|} =\frac{\tfrac12}{\bigl(\tfrac{\sqrt5}{2}\bigr)\,\sqrt2} =\frac{\tfrac12}{\tfrac{\sqrt{10}}{2}} =\frac1{\sqrt{10}}.
Portanto
\theta=\operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac1{\sqrt{10}}\Bigr).

Passo 5

Do passo 3 vimos u\cdot v=0. Dois vetores com produto escalar zero são perpendiculares. Logo, u e v são perpendiculares.

Passo 6

Calcular as projeções ortogonais de w sobre u e v.
Para \text{proj}_u(w):
u\cdot u=\|u\|^2=\bigl(\tfrac{\sqrt5}{2}\bigr)^2=\tfrac54, \quad w\cdot u=\tfrac12,
\text{proj}_u(w) =\frac{w\cdot u}{u\cdot u}\,u =\frac{\tfrac12}{\tfrac54}\,u =\frac{2}{5}\,u =\Bigl(\tfrac{2}{5},-\tfrac{1}{5}\Bigr).
Para \text{proj}_v(w):
v\cdot v=\|v\|^2=5, \quad w\cdot v=3,
\text{proj}_v(w) =\frac{w\cdot v}{v\cdot v}\,v =\frac{3}{5}\,v =\Bigl(\tfrac{3}{5},\tfrac{6}{5}\Bigr).

Resposta

(a) \|u\|=\tfrac{\sqrt5}{2},\\ \|v\|=\sqrt5,\\ \|w\|=\sqrt2,\\ \|u-v\|=\tfrac52.
(b) u\cdot v=0,\\ u\cdot w=\tfrac12,\\ v\cdot w=3.
(c) \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac1{\sqrt{10}}\bigr).
(d) Sim, pois u\cdot v=0.
(e) \text{proj}_u(w)=\bigl(\tfrac{2}{5},-\tfrac{1}{5}\bigr),\quad \text{proj}_v(w)=\bigl(\tfrac{3}{5},\tfrac{6}{5}\bigr).

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