Sejam
e
.
0,20 (a) Calcule as normas de
e
.
(b) Calcule os produtos escalares
e
(c) Calcule o ângulo entre
e
.
(d) Os vetores
e
são perpendiculares? Justifique.
(e) Calcule as projeções
e
.
(b) Calcule os produtos escalares
(d) Os vetores
(e) Calcule as projeções
Passo 1
Temos os vetores em
O exercício pede:
(a) normas de e de
;
(b) produtos escalares ,
e
;
(c) ângulo entre e
;
(d) verificar se e
são perpendiculares;
(e) projeções de sobre
e de
sobre
.
Vamos usar as fórmulas da norma euclidiana, do produto escalar, da definição de ângulo via cosseno e da projeção ortogonal:
(a) normas de
(b) produtos escalares
(c) ângulo entre
(d) verificar se
(e) projeções de
Vamos usar as fórmulas da norma euclidiana, do produto escalar, da definição de ângulo via cosseno e da projeção ortogonal:
Passo 2
Calcular as normas usando
:
Para
temos
logo
Passo 3
Calcular os produtos escalares:
Passo 4
O ângulo
entre
e
satisfaz
Portanto
Passo 5
Do passo 3 vimos
. Dois vetores com produto escalar zero são perpendiculares. Logo,
e
são perpendiculares.
Passo 6
Calcular as projeções ortogonais de
sobre
e
.
Para :
Para
Para
:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Sim, pois .
(e)
(b)
(c)
(d) Sim, pois
(e)