Questão 1 Seja T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right) com T(x, y, z)=(3 x+y-z, 2 x+2 y-z, 2 x+2 y).
(a) T é diagonalizável? Justifique sua resposta no gabarito em no máximo 3 linhas.
(b) Encontre uma base H de \mathbb{R}^{3} tal que [T]_{H}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T(x,y,z) = (3x + y - z,\;2x + 2y - z,\;2x + 2y)
em \mathbb{R}^3 e pede (a) verificar se T é diagonalizável e (b) achar uma base H em que
[T]_{H} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
O conteúdo envolvido é cálculo de autovalores, autovetores e vetor generalizado (forma de Jordan).

Passo 2

Na base canônica, a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1\\[6pt] 2 & 2 & -1\\[6pt] 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(A - \lambda I) = (\lambda - 1)(\lambda - 2)^2 = 0,
logo os autovalores são \lambda=1 (mult. alg. 1) e \lambda=2 (mult. alg. 2).]

Passo 3

Para \lambda=2 temos
A - 2I = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\[3pt] 2 & 0 & -1\\[3pt] 2 & 2 & -2 \end{pmatrix},
e a solução de (A-2I)v=0 é v=(x,x,2x). Como a dimensão do espaço próprio é 1 < mult. alg. 2, T não é diagonalizável.]

Passo 4

Encontramos um autovetor para \lambda=1 resolvendo (A - I)v=0. Isso dá v_1=(1,0,2).
Para \lambda=2 escolhemos um autovetor v_2=(1,1,2).

Passo 5

Buscamos um vetor generalizado u tal que
(A - 2I)\,u = v_2.
Resolvendo o sistema, podemos escolher por exemplo
u = (0,0,-1),
pois então A\,u = 2u + v_2.

Passo 6

Seja a base
H = \bigl\{\,v_1,\;v_2,\;u\bigr\} = \bigl\{(1,0,2),\,(1,1,2),\,(0,0,-1)\bigr\}.
Na ordem (v_1,v_2,u) a ação de T fica
T(v_1)=1\cdot v_1,\quad T(v_2)=2\cdot v_2,\quad T(u)=v_2+2\,u,
o que gera exatamente
[T]_{H} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

Resposta

(a) T não é diagonalizável, pois o autovalor \lambda=2 tem multiplicidade algébrica 2 e geométrica 1.
(b) Uma base que produz a forma pedida é
H = \bigl\{(1,0,2),\,(1,1,2),\,(0,0,-1)\bigr\}.

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