Questāo 2 Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas.
As matrizes A e B são semellhantes com A=\left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & -1 & 3\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2\end{array}\right).
Dica: Dizemos que duas matrizes A, B \in M_{n \times n} são semelhantes se existir uma matriz P \in M_{n \times n} invertível tal que A=P^{-1} B P.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as matrizes A,B\in M_{3\times3} são semelhantes, ou seja, se existe P invertível tal que A=P^{-1}BP. Em teoria de álgebra linear isso equivale a dizer que A e B têm o mesmo polinômio característico e, para cada valor próprio, as mesmas multiplicidades algébrica e geométrica (ou forma de Jordan).

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico de A e de B.
Para A temos
\det(A-\lambda I) =\begin{vmatrix} 2-\lambda & 0 & 0\\\\ 1 & 1-\lambda & 1\\\\ 0 & -1 & 3-\lambda \end{vmatrix} =(2-\lambda)\bigl((1-\lambda)(3-\lambda)+1\bigr) =(2-\lambda)(\lambda-2)^2.
Para B temos
\det(B-\lambda I) =\begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 & 0\\\\ 0 & 2-\lambda & 0\\\\ 0 & 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} =(2-\lambda)^3.
Em ambos o único valor próprio é \lambda=2 com multiplicidade algébrica igual a 3.

Passo 3

Agora a multiplicidade geométrica de \lambda=2\) em \(A\). \[A-2I =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Resolvendo (A-2I)x=0 para x=(x,y,z) obtemos as equações
\begin{cases} x - y + z =0,\\\\ -\,y + z =0, \end{cases}
que levam a z=y\] e \(x=0. Logo os vetores próprios são da forma (0,1,1)\,t e a dimensão do espaço próprio é 1.

Passo 4

Agora a multiplicidade geométrica de \lambda=2 em B.
B-2I =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Resolvendo (B-2I)x=0 para x=(x,y,z) obtemos y=0 como única restrição, de onde x e z são livres. Assim o espaço próprio tem dimensão 2.

Passo 5

Como para \lambda=2 as multiplicidades geométricas são diferentes (em A vale 1 e em B vale 2), as formas de Jordan não coincidem (em A há um bloco de tamanho 3, em B há blocos de tamanhos 2 e 1). Logo A e B não são semelhantes.

Resposta

Falso.

Exercícios relacionados