(2.0)
\text { Se } F(x)=\int_{0}^{x} \operatorname{sen} t \cos t \mathrm{~d} t \quad \text { Calcule } \quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} x} F\left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado define
F(x)=\int_{0}^{x}\sin t\cos t\,\mathrm{d}t
e pede a derivada de F(x^2). Vamos usar dois resultados: o Teorema Fundamental do Cálculo (que diz que \frac{d}{du}\int_{0}^{u}f(t)\,dt=f(u)) e a regra da cadeia para derivação de composição.

Passo 2

Defina G(x)=F(x^2). Pela regra da cadeia,
G'(x)=\frac{d}{dx}F(x^2)=F'\bigl(x^2\bigr)\cdot\frac{d}{dx}(x^2)=F'\bigl(x^2\bigr)\cdot2x.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
F'(u)=\sin u\cos u.
Logo, substituindo u=x^2,
F'\bigl(x^2\bigr)=\sin(x^2)\cos(x^2),
e portanto
\frac{d}{dx}F(x^2)=2x\,\sin(x^2)\cos(x^2).

Resposta

2x\,\sin(x^2)\cos(x^2).

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