(2.0) Resolva
\int_{1}^{e} \frac{6 \ln x}{x} \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{e} \frac{6\ln x}{x}\,\mathrm{d}x.
O conteúdo é integração por substituição, pois vemos \ln x e seu diferencial \mathrm{d}(\ln x)=\frac{\mathrm{d}x}{x}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \ln x, \quad \mathrm{d}u = \frac{\mathrm{d}x}{x}.
Quando x=1, u=\ln1=0. Quando x=e, u=\ln e=1. Assim
\int_{1}^{e} \frac{6\ln x}{x}\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1} 6u\,\mathrm{d}u.

Passo 3

Agora integramos em u:
\int 6u\,\mathrm{d}u = 6\cdot\frac{u^{2}}{2} = 3u^{2}.

Passo 4

Voltando aos limites de u:
\left.3u^{2}\right|_{0}^{1} = 3\cdot1^{2} - 3\cdot0^{2} = 3.

Resposta

O valor da integral é 3.

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