(1,25) Encontre a função y=y(x), \operatorname{com} x \in \mathbb{R}, de tal forma que
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{3}
com y satisfazendo a condição y(-1)=0.

Passo 1

O enunciado dá a derivada de uma função e uma condição inicial. Especificamente:
  • Foi dada a relação \displaystyle \frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{3}.
  • Foi dada a condição inicial \displaystyle y(-1)=0.
    O que o problema pede:
  • Encontrar a função y=y(x), definida para todo x\in\mathbb{R}, que satisfaz a derivada dada e a condição inicial.

Passo 2

Ideia geral (sem ainda calcular): para obter y(x) a partir de \dfrac{dy}{dx} devemos encontrar uma antiderivada (ou primitiva) da função do lado direito. Explicando a teoria de forma simples:
  • Se \displaystyle \frac{dy}{dx}=g(x), então y(x) é uma primitiva de g(x); isto é,
y(x)=\int g(x)\,dx + C,
onde C é a constante de integração.
  • Duas regras úteis de integração que vamos usar:
    1. Regra do fator constante: \displaystyle \int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx, para constante a.
    2. Regra da potência (power rule): para n\neq -1,
    \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
  • Integração de uma constante: \displaystyle \int c\,dx = c x + C.
Vamos aplicar essas regras termo a termo à função \displaystyle \frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{3}.

Passo 3

Integração do primeiro termo \displaystyle \frac{x^{2}}{2}.
  • Pelo fator constante, \displaystyle \int \frac{x^{2}}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int x^{2}\,dx.
  • Aplicando a regra da potência com n=2:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+C.
  • Portanto,
\int \frac{x^{2}}{2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{6}.

Passo 4

Integração do segundo termo \displaystyle \frac{1}{3}.
  • Esse é um caso de constante: \displaystyle \int \frac{1}{3}\,dx=\frac{1}{3}x + C.

Passo 5

Somando as primitivas obtidas e incluindo a constante geral de integração:
y(x)=\frac{x^{3}}{6}+\frac{x}{3}+C,
onde C é uma constante real a ser determinada pela condição inicial.

Passo 6

Usar a condição inicial \displaystyle y(-1)=0 para achar C.
  • Substituir x=-1 na expressão de y(x):
y(-1)=\frac{(-1)^{3}}{6}+\frac{-1}{3}+C.
  • Calcular passo a passo:
\frac{(-1)^{3}}{6}=-\frac{1}{6},\qquad \frac{-1}{3}=-\frac{1}{3}.
Somando as frações:
-\frac{1}{6}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{6}-\frac{2}{6}=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}.
  • Como y(-1)=0, tem-se
0 = -\frac{1}{2} + C \quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{2}.

Passo 7

Substituir C=\tfrac{1}{2} na expressão geral para obter a solução final:
y(x)=\frac{x^{3}}{6}+\frac{x}{3}+\frac{1}{2}.
Opcionalmente, colocar em denominador comum 6:
y(x)=\frac{x^{3}+2x+3}{6}.

Resposta

y(x)=\frac{x^{3}}{6}+\frac{x}{3}+\frac{1}{2}

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