Encontre a função
, de tal forma que
com
satisfazendo a condição
.
Passo 1
O enunciado dá a derivada de uma função e uma condição inicial. Especificamente:
- Foi dada a relação
. - Foi dada a condição inicial
.
O que o problema pede: - Encontrar a função
, definida para todo , que satisfaz a derivada dada e a condição inicial.
Passo 2
Ideia geral (sem ainda calcular): para obter
a partir de
devemos encontrar uma antiderivada (ou primitiva) da função do lado direito. Explicando a teoria de forma simples:
- Se
, então é uma primitiva de ; isto é,
onde
é a constante de integração.
- Duas regras úteis de integração que vamos usar:
- Regra do fator constante:
, para constante . - Regra da potência (power rule): para
,
- Regra do fator constante:
- Integração de uma constante:
.
Vamos aplicar essas regras termo a termo à função
.
Passo 3
Integração do primeiro termo
.
- Pelo fator constante,
. - Aplicando a regra da potência com
:
- Portanto,
Passo 4
Integração do segundo termo
.
- Esse é um caso de constante:
.
Passo 5
Somando as primitivas obtidas e incluindo a constante geral de integração:
onde
é uma constante real a ser determinada pela condição inicial.
Passo 6
Usar a condição inicial
para achar
.
- Substituir
na expressão de :
- Calcular passo a passo:
Somando as frações:
- Como
, tem-se
Passo 7
Substituir
na expressão geral para obter a solução final:
Opcionalmente, colocar em denominador comum
: