Calcule as seguintes integrais. Justifique.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular e justificar a primitiva da integral
Informações relevantes que temos:
- A raiz cúbica pode ser escrita como potência:
. - A expressão está definida para
(não se pode dividir por zero); portanto a primitiva será válida em intervalos que não atravessam (por exemplo em ou em ). - O objetivo é achar uma função
tal que , e justificar cada passo.
Passo 2
Primeira etapa prática: reescrever a integranda em potências para aplicar a regra de integração mais facilmente. Usando
,
Subtraindo expoentes na divisão de potências com mesma base (
),
Logo a integranda fica
Passo 3
Agora vamos usar a regra básica de integração para potências: para qualquer
,
Explicação rápida do porquê: essa é a antiderivada cuja derivada nos dá
, pois
por aplicação da regra de potência da derivada.
Passo 4
Aplicar a regra termo a termo ao integrando reescrito. Primeiro integrando:
aqui
, então
e
Detalhe da simplificação: dividir por
é multiplicar por
.
Passo 5
Segundo integrando:
Aqui
, então
e
Multiplicando pelo
que estava fora:
Passo 6
Somando as primitivas dos dois termos e acrescentando a constante de integração
, a primitiva da integranda é a soma das duas expressões obtidas.