Calcule as seguintes integrais. Justifique.
(1,25) \int \frac{x^{2}-2}{\sqrt[3]{x}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular e justificar a primitiva da integral
\int \frac{x^{2}-2}{\sqrt[3]{x}}\,dx.
Informações relevantes que temos:
  • A raiz cúbica pode ser escrita como potência: \sqrt[3]{x}=x^{1/3}.
  • A expressão está definida para x\neq 0 (não se pode dividir por zero); portanto a primitiva será válida em intervalos que não atravessam 0 (por exemplo em (0,\infty) ou em (-\infty,0)).
  • O objetivo é achar uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x^{2}-2}{\sqrt[3]{x}}, e justificar cada passo.

Passo 2

Primeira etapa prática: reescrever a integranda em potências para aplicar a regra de integração mais facilmente. Usando \sqrt[3]{x}=x^{1/3},
\frac{x^{2}-2}{\sqrt[3]{x}}=\frac{x^{2}}{x^{1/3}}-\frac{2}{x^{1/3}}.
Subtraindo expoentes na divisão de potências com mesma base ( x^{a}/x^{b}=x^{a-b}),
\frac{x^{2}}{x^{1/3}}=x^{2-\tfrac{1}{3}}=x^{\tfrac{5}{3}}, \qquad \frac{2}{x^{1/3}}=2x^{-\tfrac{1}{3}}.
Logo a integranda fica
\frac{x^{2}-2}{\sqrt[3]{x}}=x^{\tfrac{5}{3}}-2x^{-\tfrac{1}{3}}.

Passo 3

Agora vamos usar a regra básica de integração para potências: para qualquer n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Explicação rápida do porquê: essa é a antiderivada cuja derivada nos dá x^{n}, pois \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right)=x^{n} por aplicação da regra de potência da derivada.

Passo 4

Aplicar a regra termo a termo ao integrando reescrito. Primeiro integrando:
\int x^{\tfrac{5}{3}}\,dx:
aqui n=\tfrac{5}{3}, então n+1=\tfrac{8}{3} e
\int x^{\tfrac{5}{3}}\,dx=\frac{x^{\tfrac{8}{3}}}{\tfrac{8}{3}}=\frac{3}{8}\,x^{\tfrac{8}{3}}.
Detalhe da simplificação: dividir por \tfrac{8}{3} é multiplicar por \tfrac{3}{8}.

Passo 5

Segundo integrando:
\int -2x^{-\tfrac{1}{3}}\,dx=-2\int x^{-\tfrac{1}{3}}\,dx.
Aqui n=-\tfrac{1}{3}, então n+1=\tfrac{2}{3} e
\int x^{-\tfrac{1}{3}}\,dx=\frac{x^{\tfrac{2}{3}}}{\tfrac{2}{3}}=\frac{3}{2}\,x^{\tfrac{2}{3}}.
Multiplicando pelo -2 que estava fora:
-2\cdot\frac{3}{2}\,x^{\tfrac{2}{3}}=-3\,x^{\tfrac{2}{3}}.

Passo 6

Somando as primitivas dos dois termos e acrescentando a constante de integração C, a primitiva da integranda é a soma das duas expressões obtidas.

Resposta

\frac{3}{8}x^{\tfrac{8}{3}}-3x^{\tfrac{2}{3}}+C

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