Determine as integrais abaixo, justificando a sua resposta.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações que temos:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e . - A tarefa é determinar o valor numérico da integral e justificar os passos.
Passo 2
Ideia de resolução e o conceito que vou usar (aula rápida e prática).
- Quando na integral aparece uma função composta
no denominador elevada a uma potência e o numerador é (ou é proporcional a) , é natural tentar a substituição . Isso é a técnica de substituição (ou mudança de variável) para integrais. - Regra prática: se
então . Em integrais definidas também é conveniente transformar os limites: e . - Aqui note que
tem derivada . O numerador é , que é proporcional a (proporção ). Isso indica que a substituição vai simplificar muito a integral.
Passo 3
Fazer a substituição explicitamente.
- Defina
. - Então
, ou seja . - Transformar a constante do numerador:
. - Transformar os limites de integração:
- quando
, ; - quando
, .
- quando
- Substituindo tudo na integral, obtemos (agora em
):
Passo 4
Calcular a integral em
.
- A primitiva de
é , porque . - Logo,
- Avaliando entre os limites:
- Multiplicando pela constante
:
Passo 5
Interpretação final e dica de prova.
- Portanto a integral vale
. - Dica prática para provas: ao ver
no denominador e um polinômio no numerador, sempre procure a derivada do “interior” ( ) — se for proporcional ao numerador, a substituição interior resolve direto.