(5,0) Determine as integrais abaixo, justificando a sua resposta.
(1,25) \int_{0}^{2} \frac{\left(2 x^{2}\right)}{\left(x^{3}+1\right)^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2}\frac{2x^{2}}{(x^{3}+1)^{2}}\,dx.
Informações que temos:
  • O integrando é \dfrac{2x^{2}}{(x^{3}+1)^{2}}.
  • Os limites de integração são x=0 e x=2.
  • A tarefa é determinar o valor numérico da integral e justificar os passos.

Passo 2

Ideia de resolução e o conceito que vou usar (aula rápida e prática).
  • Quando na integral aparece uma função composta g(x) no denominador elevada a uma potência e o numerador é (ou é proporcional a) g'(x), é natural tentar a substituição u=g(x). Isso é a técnica de substituição (ou mudança de variável) para integrais.
  • Regra prática: se u=g(x) então du=g'(x)\,dx. Em integrais definidas também é conveniente transformar os limites: u(a)=g(a) e u(b)=g(b).
  • Aqui note que g(x)=x^{3}+1 tem derivada g'(x)=3x^{2}. O numerador é 2x^{2}, que é proporcional a g'(x) (proporção 2/3). Isso indica que a substituição u=x^{3}+1 vai simplificar muito a integral.

Passo 3

Fazer a substituição explicitamente.
  • Defina u=x^{3}+1.
  • Então du=3x^{2}\,dx, ou seja x^{2}\,dx=\dfrac{1}{3}\,du.
  • Transformar a constante do numerador: 2x^{2}\,dx = 2\cdot(x^{2}\,dx)=2\cdot\frac{1}{3}\,du=\frac{2}{3}\,du.
  • Transformar os limites de integração:
    • quando x=0, u(0)=0^{3}+1=1;
    • quando x=2, u(2)=2^{3}+1=9.
  • Substituindo tudo na integral, obtemos (agora em u):
\int_{0}^{2}\frac{2x^{2}}{(x^{3}+1)^{2}}\,dx = \int_{u=1}^{u=9}\frac{\tfrac{2}{3}\,du}{u^{2}} = \frac{2}{3}\int_{1}^{9}u^{-2}\,du.

Passo 4

Calcular a integral em u.
  • A primitiva de u^{-2} é -u^{-1}, porque \dfrac{d}{du}(-u^{-1}) = -(-1)u^{-2}=u^{-2}.
  • Logo,
\frac{2}{3}\int_{1}^{9}u^{-2}\,du = \frac{2}{3}\bigl[-u^{-1}\bigr]_{1}^{9}.
  • Avaliando entre os limites:
\bigl[-u^{-1}\bigr]_{1}^{9} = -\frac{1}{9} -\left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{9} + 1 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}.
  • Multiplicando pela constante \dfrac{2}{3}:
\frac{2}{3}\cdot\frac{8}{9} = \frac{16}{27}.

Passo 5

Interpretação final e dica de prova.
  • Portanto a integral vale \dfrac{16}{27}.
  • Dica prática para provas: ao ver (x^{3}+1)^{2} no denominador e um polinômio x^{2} no numerador, sempre procure a derivada do “interior” ( x^{3}+1) — se for proporcional ao numerador, a substituição u= interior resolve direto.

Resposta

\dfrac{16}{27}

Exercícios relacionados