(1,25) Seja A a região do plano limitada pelo gráfico da função y=4 x eixo x. Determine a área de A, justificando sua resposta.

Passo 1

O enunciado diz: “Seja A a região do plano limitada pelo gráfico da função y=4x e pelo eixo x. Determine a área de A, justificando sua resposta.”
Informações dadas:
  • A curva é y=4x.
  • A outra “fronteira” é o eixo x (ou seja, a reta y=0).
  • Pede-se a área da região A.
Observação crucial (informação que falta): o enunciado não especifica os limites em x (por exemplo, entre x=a e x=b), nem fornece outra curva ou reta que feche a região lateralmente. Apenas a linha y=4x e o eixo x não fecham uma região limitada e única no plano: a faixa entre essas duas curvas estende-se indefinidamente se não houver limites em x. Portanto falta uma informação necessária para obter uma área finita e única.

Passo 2

Como se calcula a área entre uma curva e o eixo x.
  • Se uma função f(x) é contínua e não-negativa em um intervalo fechado [a,b], a área da região limitada pela curva y=f(x), pelo eixo x e pelas retas verticais x=a e x=b é dada pela integral definida
\text{Área}=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.Á
  • Aqui cada parcela f(x)\,dx representa a área aproximada de um retângulo de base dx e altura f(x); somando (integrando) obtemos a área total.
  • Nas fórmulas acima, a e b são os limites em x que delimitam lateralmente a região; sem eles a integral não está definida e a área não é determinada.

Passo 3

Aplicando a ideia ao caso y=4x.
  • Se a região for realmente a faixa entre y=4x e y=0 limitada por x=a e x=b com a<b e 4x\ge0 nesse intervalo (por exemplo a\ge0), então a área é
\text{Área}(a,b)=\int_{a}^{b} 4x\,dx.Á
  • Calculemos essa integral passo a passo: a primitiva (antiderivada) de 4x é 2x^{2}, porque ao derivar 2x^{2} obtemos 4x. Portanto
\int_{a}^{b} 4x\,dx = \bigl[2x^{2}\bigr]_{a}^{b} = 2b^{2}-2a^{2}=2\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr).
  • Interpretação: a expressão 2(b^{2}-a^{2}) dá a área da região limitada por y=4x, pelo eixo x e pelas retas verticais x=a e x=b.

Passo 4

Consequências e exemplos numéricos (para fixar a ideia).
  • Se o professor pretendia a região limitada entre x=0 e x=1, então a=0, b=1 e
\text{Área}=\int_{0}^{1}4x\,dx=2(1^{2}-0^{2})=2.Á
  • Se fossem os limites x=0 e x=2, então a área seria
\text{Área}=\int_{0}^{2}4x\,dx=2(4-0)=8.Á
  • Se não houver limites em x (nenhuma reta vertical ou outra curva fechando a região), a porção entre y=4x e o eixo x não é uma região limitada (estende-se até o infinito) e não tem área finita bem definida.

Passo 5

Conclusão final e resposta objetiva para o enunciado exatamente como foi escrito: falta informação sobre limites em x; sem isso não há uma área única e finita a ser calculada. Se forem fornecidos os valores a e b que limitam x, a área é 2(b^{2}-a^{2}).

Resposta

Não é possível determinar a área com os dados fornecidos (falta especificar os limites em x). Em geral, se a região for limitada por x=a e x=b, a área é \;2\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr).

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