Seja
a região do plano limitada pelo gráfico da função
eixo
. Determine a área de
, justificando sua resposta.
Passo 1
O enunciado diz: “Seja
a região do plano limitada pelo gráfico da função
e pelo eixo
. Determine a área de
, justificando sua resposta.”
Informações dadas:
- A curva é
. - A outra “fronteira” é o eixo
(ou seja, a reta ). - Pede-se a área da região
.
Observação crucial (informação que falta): o enunciado não especifica os limites em
(por exemplo, entre
e
), nem fornece outra curva ou reta que feche a região lateralmente. Apenas a linha
e o eixo
não fecham uma região limitada e única no plano: a faixa entre essas duas curvas estende-se indefinidamente se não houver limites em
. Portanto falta uma informação necessária para obter uma área finita e única.
Passo 2
Como se calcula a área entre uma curva e o eixo
.
- Se uma função
é contínua e não-negativa em um intervalo fechado , a área da região limitada pela curva , pelo eixo e pelas retas verticais e é dada pela integral definida
- Aqui cada parcela
representa a área aproximada de um retângulo de base e altura ; somando (integrando) obtemos a área total. - Nas fórmulas acima,
e são os limites em que delimitam lateralmente a região; sem eles a integral não está definida e a área não é determinada.
Passo 3
Aplicando a ideia ao caso
.
- Se a região for realmente a faixa entre
e limitada por e com e nesse intervalo (por exemplo ), então a área é
- Calculemos essa integral passo a passo: a primitiva (antiderivada) de
é , porque ao derivar obtemos . Portanto
- Interpretação: a expressão
dá a área da região limitada por , pelo eixo e pelas retas verticais e .
Passo 4
Consequências e exemplos numéricos (para fixar a ideia).
- Se o professor pretendia a região limitada entre
e , então , e
- Se fossem os limites
e , então a área seria
- Se não houver limites em
(nenhuma reta vertical ou outra curva fechando a região), a porção entre e o eixo não é uma região limitada (estende-se até o infinito) e não tem área finita bem definida.
Passo 5
Conclusão final e resposta objetiva para o enunciado exatamente como foi escrito: falta informação sobre limites em
; sem isso não há uma área única e finita a ser calculada. Se forem fornecidos os valores
e
que limitam
, a área é
.
Resposta
Não é possível determinar a área com os dados fornecidos (falta especificar os limites em
). Em geral, se a região for limitada por
e
, a área é
.