25- A função
definida por
será uma função bijetora se os conjuntos do domínio e imagem forem respectivamente:
a)
e
b)
e
c)
e
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pergunta qual das alternativas torna
uma função bijetora, isto é, qual par (domínio, imagem) das alternativas faz com que
seja bijetiva. As alternativas são:
a)
e
b)
e
c)
e
d)
e
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa “função bijetora” de modo direto e prático.
Definições essenciais:
- Injetiva: significa que valores diferentes do domínio dão valores diferentes na imagem. Formalmente,
. - Sobrejetiva (onto): significa que a imagem da função coincide com o conjunto alvo (aqui a alternativa já dá um conjunto como “imagem”); isto é,
deve ser exatamente o conjunto indicado. - Bijetiva: a função é ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva (em particular, se consideramos a função com codomínio igual à sua imagem, basta verificar injetividade).
Observação prática: se a alternativa fornecer um domínio
e uma imagem
, para que
seja bijetora precisamos (i) que
seja injetiva em
e (ii) que
(ou seja, todo elemento de
seja realmente atingido por
).
Passo 3
Análise do comportamento de
.
Propriedade simples: para todo
vale
, logo para todo
temos
Portanto, a imagem real de
(quando o domínio é qualquer subconjunto de
) está contida em
:
Isto já descarta qualquer alternativa que coloque
contendo valores menores que
ou igual a
.
Passo 4
Verificação das alternativas impossíveis rapidamente:
-
Alternativa d) diz
. Isso é impossível porque vimos que , logo não pode ser todo . Portanto d) está errada. -
Alternativa c) propõe
e . Isso também é impossível porque, novamente, , logo não pode ser . Portanto c) está errada.
Passo 5
Análise da alternativa a):
e
.
A alternativa a) acerta ao indicar a imagem
(é de fato a imagem quando consideramos domínio
), porém a bijetividade exige injetividade. Mostramos que
não é injetiva em
dando um contraexemplo simples:
mas
. Assim existem
em
com
, logo
não é injetiva em
. Portanto a) não torna
bijetora.
Passo 6
Análise da alternativa b):
e
.
- Injetividade em
.
Sejam
tais que
. Então
Como
, das igualdades
segue
(a raiz quadrada de um número não-negativo é única no conjunto
). Portanto
é injetiva em
.
- Sobrejetividade em relação a
.
Tomemos um
. Queremos um
tal que
. Defina
Como
, temos
e
está bem definido e
. Agora
Portanto todo
é atingido por algum
, ou seja,
quando o domínio é
.
Como
é injetiva em
e atinge exatamente
,
é bijetora. Logo a alternativa b) satisfaz o pedido.
Passo 7
Recapitulando rapidamente: a) falha na injetividade; c) e d) falham porque a imagem indicada está errada (não pode conter valores menores que
ou ser todo
). Apenas b) dá um domínio onde a função é injetiva e uma imagem correta que é precisamente a imagem de
nesse domínio.
Resposta
b)