25- A função f definida por f(x)=2+x^{2} será uma função bijetora se os conjuntos do domínio e imagem forem respectivamente:
a) \mathrm{D}(\mathrm{f})=\mathrm{R} e \operatorname{Im}(\mathrm{f})=[2+\infty[
b) D(f)=[0+\infty[ e \operatorname{lm}(f)=[2+\infty[
c) D(f)=[0+\infty[ e \operatorname{Im}(f)=[0+\infty[
d) D(f)=R e \operatorname{Im}(f)=R

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=2+x^{2} e pergunta qual das alternativas torna f uma função bijetora, isto é, qual par (domínio, imagem) das alternativas faz com que f seja bijetiva. As alternativas são:
a) D(f)=\mathbb{R} e \operatorname{Im}(f)=[2,\infty)
b) D(f)=[0,\infty) e \operatorname{Im}(f)=[2,\infty)
c) D(f)=[0,\infty) e \operatorname{Im}(f)=[0,\infty)
d) D(f)=\mathbb{R} e \operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa “função bijetora” de modo direto e prático.
Definições essenciais:
  • Injetiva: significa que valores diferentes do domínio dão valores diferentes na imagem. Formalmente, \forall x_{1},x_{2}\in D(f),\\ f(x_{1})=f(x_{2})\implies x_{1}=x_{2}.
  • Sobrejetiva (onto): significa que a imagem da função coincide com o conjunto alvo (aqui a alternativa já dá um conjunto como “imagem”); isto é, \operatorname{Im}(f) deve ser exatamente o conjunto indicado.
  • Bijetiva: a função é ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva (em particular, se consideramos a função com codomínio igual à sua imagem, basta verificar injetividade).
Observação prática: se a alternativa fornecer um domínio D e uma imagem I, para que f:D\to I seja bijetora precisamos (i) que f seja injetiva em D e (ii) que \operatorname{Im}(f)=I (ou seja, todo elemento de I seja realmente atingido por f).

Passo 3

Análise do comportamento de f(x)=2+x^{2}.
Propriedade simples: para todo x\in\mathbb{R} vale x^{2}\ge 0, logo para todo x temos
f(x)=2+x^{2}\ge 2.
Portanto, a imagem real de f (quando o domínio é qualquer subconjunto de \mathbb{R}) está contida em [2,\infty):
\operatorname{Im}(f)\subseteq[2,\infty).
Isto já descarta qualquer alternativa que coloque \operatorname{Im}(f) contendo valores menores que 2 ou igual a \mathbb{R}.

Passo 4

Verificação das alternativas impossíveis rapidamente:
  • Alternativa d) diz \operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}. Isso é impossível porque vimos que \operatorname{Im}(f)\subseteq[2,\infty), logo não pode ser todo \mathbb{R}. Portanto d) está errada.
  • Alternativa c) propõe D(f)=[0,\infty) e \operatorname{Im}(f)=[0,\infty). Isso também é impossível porque, novamente, \operatorname{Im}(f)\subseteq[2,\infty), logo não pode ser [0,\infty). Portanto c) está errada.

Passo 5

Análise da alternativa a): D(f)=\mathbb{R} e \operatorname{Im}(f)=[2,\infty).
A alternativa a) acerta ao indicar a imagem [2,\infty) (é de fato a imagem quando consideramos domínio \mathbb{R}), porém a bijetividade exige injetividade. Mostramos que f não é injetiva em \mathbb{R} dando um contraexemplo simples:
f(1)=2+1^{2}=3 \quad\text{e}\quad f(-1)=2+(-1)^{2}=3,
mas 1\ne -1. Assim existem x_{1}\ne x_{2} em \mathbb{R} com f(x_{1})=f(x_{2}), logo f não é injetiva em \mathbb{R}. Portanto a) não torna f bijetora.

Passo 6

Análise da alternativa b): D(f)=[0,\infty) e \operatorname{Im}(f)=[2,\infty).
  1. Injetividade em D(f)=[0,\infty).
Sejam x_{1},x_{2}\in[0,\infty) tais que f(x_{1})=f(x_{2}). Então
2+x_{1}^{2}=2+x_{2}^{2}\implies x_{1}^{2}=x_{2}^{2}.
Como x_{1},x_{2}\ge 0, das igualdades x_{1}^{2}=x_{2}^{2} segue x_{1}=x_{2} (a raiz quadrada de um número não-negativo é única no conjunto [0,\infty)). Portanto f é injetiva em [0,\infty).
  1. Sobrejetividade em relação a \operatorname{Im}(f)=[2,\infty).
Tomemos um y\in[2,\infty). Queremos um x\in[0,\infty) tal que f(x)=y. Defina
x=\sqrt{\,y-2\,}.
Como y\ge 2, temos y-2\ge 0 e x está bem definido e x\ge 0. Agora
f(x)=2+x^{2}=2+(\sqrt{y-2})^{2}=2+(y-2)=y.
Portanto todo y\in[2,\infty) é atingido por algum x\in[0,\infty), ou seja, \operatorname{Im}(f)=[2,\infty) quando o domínio é [0,\infty).
Como f é injetiva em [0,\infty) e atinge exatamente [2,\infty), f:[0,\infty)\to[2,\infty) é bijetora. Logo a alternativa b) satisfaz o pedido.

Passo 7

Recapitulando rapidamente: a) falha na injetividade; c) e d) falham porque a imagem indicada está errada (não pode conter valores menores que 2 ou ser todo \mathbb{R}). Apenas b) dá um domínio onde a função é injetiva e uma imagem correta que é precisamente a imagem de f nesse domínio.

Resposta

b)

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