23- Um estudante resolveu a inequação \frac{4 x-1}{2 x+3}>1 seguindo os seguintes passos:
1^{0} passo 4 \mathrm{x}-1>2 \mathrm{x}+3
2^{0} passo 4 \mathrm{x}-2 \mathrm{x}>3+1
3^{0} passo 2 x>4
4^{0} passo x > 2
Em relação a resolução, o estudante:
a) Não cometeu erros;
b) Cometeu erro no 1^{0} passo;
c) Cometeu erro no 2^{0} passo;

Passo 1

O enunciado pergunta qual das alternativas é correta sobre a resolução do estudante para a inequação \frac{4x-1}{2x+3}>1. O estudante seguiu estes passos:
1^{0} passo: 4x-1>2x+3
2^{0} passo: 4x-2x>3+1
3^{0} passo: 2x>4
4^{0} passo: x>2
As alternativas são:
a) Não cometeu erros;
b) Cometeu erro no 1^{0} passo;
c) Cometeu erro no 2^{0} passo.
Informações relevantes dadas: a inequação original \frac{4x-1}{2x+3}>1 e os quatro passos do estudante. A tarefa é verificar se houve erro e em qual passo.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida antes de mexer nas contas): ao manipular uma desigualdade, se você multiplica ou divide ambos os lados por uma expressão que contém a incógnita, precisa saber o sinal dessa expressão. Regras:
  • Se multiplicar por uma quantidade positiva, a desigualdade mantém o sentido.
  • Se multiplicar por uma quantidade negativa, a desigualdade inverte o sentido.
  • Se a quantidade for zero, a operação é inválida (há cuidado com domínio).
No caso do estudante ele passou diretamente de \dfrac{4x-1}{2x+3}>1 para 4x-1>2x+3. Isso equivale a multiplicar ambos os lados por 2x+3 sem verificar o sinal de 2x+3. Essa operação só é válida sem mudar o sinal se 2x+3>0. Se 2x+3<0 o sinal deveria inverter. Logo há potencial erro já no 1^{0} passo — vamos confirmar resolvendo corretamente a inequação.

Passo 3

Método seguro: colocar tudo em um único quociente e estudar o sinal. Começo subtraindo 1 dos dois lados:
\frac{4x-1}{2x+3}-1>0
Coloco em um único denominador:
\frac{4x-1-(2x+3)}{2x+3}>0
Calculo o numerador:
4x-1-(2x+3)=4x-1-2x-3=2x-4.
Logo a inequação fica
\frac{2x-4}{2x+3}>0.
Posso fatorar 2 no numerador:
\frac{2(x-2)}{2x+3}>0.
Como 2>0, podemos simplificar o fator positivo (não altera o sinal):
\frac{x-2}{2x+3}>0.

Passo 4

Domínio e pontos críticos: o denominador não pode ser zero, então 2x+3\neq0\Rightarrow x\neq-\dfrac{3}{2}. Os pontos que anulam numerador ou denominador são:
x=2\quad\text{(zera o numerador)},\qquad x=-\dfrac{3}{2}\quad\text{(zera o denominador)}.
Esses dois pontos dividem a reta em três intervalos para analisar o sinal do quociente:
(-\infty,-\tfrac{3}{2}),\quad (-\tfrac{3}{2},2),\quad (2,\infty).

Passo 5

Análise de sinal por testes (método prático):
  • Para x<- \tfrac{3}{2}, tome x=-2. Então x-2=-4<0 e 2x+3=2(-2)+3=-1<0. Quociente \dfrac{x-2}{2x+3}=\dfrac{(-)}{(-)}=(+). Então a desigualdade é satisfeita em (-\infty,-\tfrac{3}{2}).
  • Para -\tfrac{3}{2}<x<2, tome x=0. Então x-2=-2<0 e 2x+3=3>0. Quociente \dfrac{(-)}{(+)}=(-). Não satisfaz.
  • Para x>2, tome x=3. Então x-2=1>0 e 2x+3=9>0. Quociente \dfrac{(+)}{(+)}=(+). Satisfaz.
Portanto a solução correta da inequação é
x<-\tfrac{3}{2}\quad\text{ou}\quad x>2.

Passo 6

Comparando com a resolução do estudante: ele concluiu apenas x>2. Faltou a parte x<-\tfrac{3}{2}. Onde ele errou? No 1^{0} passo: passar de \dfrac{4x-1}{2x+3}>1 direto para 4x-1>2x+3 supõe que 2x+3>0. Ou seja, ele multiplicou por 2x+3 sem considerar o caso 2x+3<0 (quando o sentido da desigualdade inverte) e sem verificar 2x+3\neq0. Os passos algébricos seguintes do estudante ( 2^{0} a 4^{0}) estão corretos se a hipótese 2x+3>0 fosse verdadeira, mas ele não considerou o outro caso. Logo o erro está no 1^{0} passo.

Resposta

b)

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