23- Um estudante resolveu a inequação
seguindo os seguintes passos:
passo
passo
passo
passo x > 2
Em relação a resolução, o estudante:
a) Não cometeu erros;
b) Cometeu erro no
passo;
c) Cometeu erro no
passo;
Em relação a resolução, o estudante:
a) Não cometeu erros;
b) Cometeu erro no
c) Cometeu erro no
Passo 1
O enunciado pergunta qual das alternativas é correta sobre a resolução do estudante para a inequação
. O estudante seguiu estes passos:
As alternativas são:
a) Não cometeu erros;
b) Cometeu erro no passo;
c) Cometeu erro no passo.
a) Não cometeu erros;
b) Cometeu erro no
c) Cometeu erro no
Informações relevantes dadas: a inequação original
e os quatro passos do estudante. A tarefa é verificar se houve erro e em qual passo.
Passo 2
Conceito importante (aula rápida antes de mexer nas contas): ao manipular uma desigualdade, se você multiplica ou divide ambos os lados por uma expressão que contém a incógnita, precisa saber o sinal dessa expressão. Regras:
- Se multiplicar por uma quantidade positiva, a desigualdade mantém o sentido.
- Se multiplicar por uma quantidade negativa, a desigualdade inverte o sentido.
- Se a quantidade for zero, a operação é inválida (há cuidado com domínio).
No caso do estudante ele passou diretamente de
para
. Isso equivale a multiplicar ambos os lados por
sem verificar o sinal de
. Essa operação só é válida sem mudar o sinal se
. Se
o sinal deveria inverter. Logo há potencial erro já no
passo — vamos confirmar resolvendo corretamente a inequação.
Passo 3
Método seguro: colocar tudo em um único quociente e estudar o sinal. Começo subtraindo
dos dois lados:
Coloco em um único denominador:
Calculo o numerador:
Logo a inequação fica
Posso fatorar
no numerador:
Como
, podemos simplificar o fator positivo (não altera o sinal):
Passo 4
Domínio e pontos críticos: o denominador não pode ser zero, então
. Os pontos que anulam numerador ou denominador são:
Esses dois pontos dividem a reta em três intervalos para analisar o sinal do quociente:
Passo 5
Análise de sinal por testes (método prático):
- Para
, tome . Então e . Quociente . Então a desigualdade é satisfeita em . - Para
, tome . Então e . Quociente . Não satisfaz. - Para
, tome . Então e . Quociente . Satisfaz.
Portanto a solução correta da inequação é
Passo 6
Comparando com a resolução do estudante: ele concluiu apenas
. Faltou a parte
. Onde ele errou? No
passo: passar de
direto para
supõe que
. Ou seja, ele multiplicou por
sem considerar o caso
(quando o sentido da desigualdade inverte) e sem verificar
. Os passos algébricos seguintes do estudante (
a
) estão corretos se a hipótese
fosse verdadeira, mas ele não considerou o outro caso. Logo o erro está no
passo.
Resposta
b)