A large deep lake, which initially had a uniform oxygen concentration of 1 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, has its surface concentration suddenly raised and maintained at 9 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} concentration level.
Reduce the general differential equation for mass transfer to write the specific differential equation for
a. the transfer of oxygen into the lake without the presence of a chemical reaction;
b. the transfer of oxygen into the lake that occurs with the simultaneous disappearance of oxygen by a first-order biological reaction.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que a gente escreva as equações diferenciais específicas:
  • Inicialmente a concentração de oxigénio no lago é uniforme e igual a \;1\\ \mathrm{kg/m^{3}}\; para todo o volume, em t=0.
  • Em t>0 a concentração na superfície do lago (profundidade z=0) é bruscamente elevada para \;9\\ \mathrm{kg/m^{3}}\; e mantida nesse valor.
  • O lago é grande e profundo, portanto podemos modelar a variação só na direção vertical z (uma aproximação unidimensional, semi-infinita em profundidade).
  • Precisamos escrever a equação diferencial da transferência de massa para dois casos:
    a) sem reação química (só difusão);
    b) com desaparecimento do oxigénio por uma reação biológica de primeira ordem.
  • Informações úteis que vieram do enunciado: valores iniciais e condição de contorno na superfície; não foi dada taxa de difusão ou constante de reação — use símbolos (por ex. \;D\; e \;k\;).

Passo 2

Escrevendo o balanço de massa local (por unidade de volume) para a concentração \;C(z,t)\; do oxigénio numa pequena fatia do lago:
  • A taxa de acumulação é \;\dfrac{\partial C}{\partial t}\;.
  • O transporte por difusão dá origem a um fluxo vertical \;J(z,t)\;=\;-D\,\dfrac{\partial C}{\partial z}\;, pela Lei de Fick (explico essa lei adiante).
  • A variação líquida de fluxo por unidade de volume é -\dfrac{\partial J}{\partial z}.
  • Se houver consumo por reação, aparece um termo fonte/sumidouro por unidade de volume que chamo de \;S\text{(C)}\;, positivo para geração e negativo para consumo.
Portanto o balanço local geral fica:
\frac{\partial C}{\partial t} = -\frac{\partial J}{\partial z} + S\text{(C)}.

Passo 3

Aplicando a Lei de Fick para substituir o fluxo:
J(z,t) = -D\,\frac{\partial C}{\partial z},
onde \;D\; é o coeficiente de difusão efetivo (unidade \mathrm{m^{2}/s}), assumido constante. Substituindo em \;-\dfrac{\partial J}{\partial z}\; obtemos
-\frac{\partial J}{\partial z} = -\frac{\partial}{\partial z}\left(-D\frac{\partial C}{\partial z}\right) = D\frac{\partial^{2}C}{\partial z^{2}}.
Logo a forma reduzia do PDE de transferência de massa (antes de especificar reação) é
\frac{\partial C}{\partial t} = D\frac{\partial^{2}C}{\partial z^{2}} + S\text{(C)}.
Explicação didática rápida da Lei de Fick: ela diz que o fluxo de massa vai no sentido contrário ao gradiente de concentração — onde a concentração diminui com z o fluxo aponta para lá — e a proporcionalidade é dada por \;D\;. É análogo à condução de calor (Lei de Fourier).

Passo 4

Caso (a) — sem reação:
  • Não há consumo nem geração no volume, então \;S\text{(C)}=0\;.
  • Substituindo na equação geral obtemos a equação de difusão/transiente clássica:
\frac{\partial C}{\partial t} = D\frac{\partial^{2}C}{\partial z^{2}}.
Condições iniciais e de contorno (retomando o enunciado):
C(z,0)=1,\qquad C(0,t)=9,\qquad C(z\to\infty,t)=1.
Aqui \;z\ge0\; e \;t>0\;. A condição em z\to\infty representa o lago profundo que inicialmente estava em \;1\\ \mathrm{kg/m^{3}}\; e não é imediatamente afetado na profundidade infinita.

Passo 5

Caso (b) — reação biológica de primeira ordem (desaparecimento do oxigénio):
  • Para reação de primeira ordem o termo de consumo por unidade de volume é proporcional à concentração:
S\text{(C)} = -k\,C,
onde \;k>0\; é a constante de taxa de ordem \mathrm{s^{-1}} (ou \mathrm{h^{-1}} dependendo das unidades de tempo).
  • Substituindo em \;\dfrac{\partial C}{\partial t} = D\dfrac{\partial^{2}C}{\partial z^{2}} + S\text{(C)}\; obtemos:
\frac{\partial C}{\partial t} = D\frac{\partial^{2}C}{\partial z^{2}} - k\,C.
Condições iniciais e de contorno são as mesmas:
C(z,0)=1,\qquad C(0,t)=9,\qquad C(z\to\infty,t)=1.

Passo 6

Resumo das hipóteses que usamos (para saber quando estas equações valem):
  • Modelo unidimensional em z (variação horizontal desprezada).
  • Difusão descrita por Fick com coeficiente constante \;D\;.
  • Ausência de advecção vertical (sem movimento de massa ordenado, só mistura difusiva).
  • Reação de primeira ordem, homogénea no volume (no caso b).
  • Condição de superfície presa (Dirichlet) em \;z=0 e condição no infinito igual ao valor inicial.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\partial C}{\partial t}=D\frac{\partial^{2}C}{\partial z^{2}},\quad C(z,0)=1,\;C(0,t)=9,\;C(\infty,t)=1.\n
(b) \displaystyle \frac{\partial C}{\partial t}=D\frac{\partial^{2}C}{\partial z^{2}}-k\,C,\quad C(z,0)=1,\;C(0,t)=9,\;C(\infty,t)=1.

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