A large deep lake, which initially had a uniform oxygen concentration of
, has its surface concentration suddenly raised and maintained at
concentration level.
Reduce the general differential equation for mass transfer to write the specific differential equation for
a. the transfer of oxygen into the lake without the presence of a chemical reaction;
b. the transfer of oxygen into the lake that occurs with the simultaneous disappearance of oxygen by a first-order biological reaction.
a. the transfer of oxygen into the lake without the presence of a chemical reaction;
b. the transfer of oxygen into the lake that occurs with the simultaneous disappearance of oxygen by a first-order biological reaction.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que a gente escreva as equações diferenciais específicas:
- Inicialmente a concentração de oxigénio no lago é uniforme e igual a
para todo o volume, em . - Em
a concentração na superfície do lago (profundidade ) é bruscamente elevada para e mantida nesse valor. - O lago é grande e profundo, portanto podemos modelar a variação só na direção vertical
(uma aproximação unidimensional, semi-infinita em profundidade). - Precisamos escrever a equação diferencial da transferência de massa para dois casos:
a) sem reação química (só difusão);
b) com desaparecimento do oxigénio por uma reação biológica de primeira ordem. - Informações úteis que vieram do enunciado: valores iniciais e condição de contorno na superfície; não foi dada taxa de difusão ou constante de reação — use símbolos (por ex.
e ).
Passo 2
Escrevendo o balanço de massa local (por unidade de volume) para a concentração
do oxigénio numa pequena fatia do lago:
- A taxa de acumulação é
- O transporte por difusão dá origem a um fluxo vertical
pela Lei de Fick (explico essa lei adiante). - A variação líquida de fluxo por unidade de volume é
. - Se houver consumo por reação, aparece um termo fonte/sumidouro por unidade de volume que chamo de
positivo para geração e negativo para consumo.
Portanto o balanço local geral fica:
Passo 3
Aplicando a Lei de Fick para substituir o fluxo:
onde
é o coeficiente de difusão efetivo (unidade
), assumido constante. Substituindo em
obtemos
Logo a forma reduzia do PDE de transferência de massa (antes de especificar reação) é
Explicação didática rápida da Lei de Fick: ela diz que o fluxo de massa vai no sentido contrário ao gradiente de concentração — onde a concentração diminui com
o fluxo aponta para lá — e a proporcionalidade é dada por
É análogo à condução de calor (Lei de Fourier).
Passo 4
Caso (a) — sem reação:
- Não há consumo nem geração no volume, então
- Substituindo na equação geral obtemos a equação de difusão/transiente clássica:
Condições iniciais e de contorno (retomando o enunciado):
Aqui
e
. A condição em
representa o lago profundo que inicialmente estava em
e não é imediatamente afetado na profundidade infinita.
Passo 5
Caso (b) — reação biológica de primeira ordem (desaparecimento do oxigénio):
- Para reação de primeira ordem o termo de consumo por unidade de volume é proporcional à concentração:
onde
é a constante de taxa de ordem
(ou
dependendo das unidades de tempo).
- Substituindo em
obtemos:
Condições iniciais e de contorno são as mesmas:
Passo 6
Resumo das hipóteses que usamos (para saber quando estas equações valem):
- Modelo unidimensional em
(variação horizontal desprezada). - Difusão descrita por Fick com coeficiente constante
. - Ausência de advecção vertical (sem movimento de massa ordenado, só mistura difusiva).
- Reação de primeira ordem, homogénea no volume (no caso b).
- Condição de superfície presa (Dirichlet) em
e condição no infinito igual ao valor inicial.
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)