Derive equation (25-11) for component A in terms of molar units, starting with the control-volume expression for the conservation of mass.
Passo 1
O que o enunciado pede: derivar a expressão (eq. 25-11) para o componente A em unidades molares partindo da expressão de conservação de massa escrita para um volume de controle. Vou assumir que a equação final pedida é a forma diferencial local do balanço de espécies em termos de concentração molar de A, fluxos molares e taxa de geração volumétrica (forma comum em livros de transferência de massa).
Informações relevantes (supostas necessárias e que vou usar):
Informações relevantes (supostas necessárias e que vou usar):
-
= concentração molar de A (mol m ). -
= concentração molar total (mol m ), com . -
= fração molar de A, com . -
= velocidade convectiva do fluido escolhida (p. ex. velocidade molar média ou velocidade do fluido; mais abaixo explicito convenções). -
= fluxo difusivo molar de A relativo à velocidade (unidade mol m s ). -
= taxa volumétrica de produção de A por reação (mol m s ). - Vou partir da forma integral (controle de massa para o volume de controle) e aplicar teoremas usuais para obter a forma diferencial.
Passo 2
Escrevendo o balanço integral de mols de A no volume de controle (CV), com a convectiva e a difusiva atravessando a superfície de controle (CS), e com geração volumétrica interna:
Aqui expliquei cada termo: o lado esquerdo é a variação no número de mols de A dentro do CV; o primeiro integral do lado direito é o fluxo convectivo líquido de A para fora; o segundo é o fluxo difusivo líquido de A para fora; o terceiro é a fonte interna por reação.
Passo 3
Aplicando o teorema da divergência (Gauss) aos termos de superfície para transformá‑los em integrais de volume:
Substituindo na equação do passo anterior:
Passo 4
Trazendo tudo para um mesmo integrando sobre o CV e usando que o CV é arbitrário, podemos aplicar a forma local. Antes, usar a regra de transporte de Reynolds (ou colocar a derivada no integrando) dá:
Como o volume de controle é arbitrário, os integrandos devem ser iguais ponto a ponto, daí a forma diferencial local do balanço de espécies:
Passo 5
Reescrevendo de forma compacta, agrupando os termos de transporte convectivo e difusivo:
Comentário didático: essa é a equação de continuidade para a espécie A em unidades molares. O termo
representa o transporte advectivo (mols por unidade área por tempo devido ao movimento do fluido) e
é o transporte relativo (difusão) de A em relação à velocidade de referência
. A soma
é o fluxo total molar de A no referencial fixo.
Passo 6
Agora queremos a mesma equação escrita em termos de fração molar
e da concentração total
. Usamos a definição
Substituindo em
e no termo convectivo:
Passo 7
Expandindo o termo temporal e o divergente para ver formas alternativas (útil na prova saber manipular):
- Derivada temporal do produto:
- Divergente do termo convectivo (regra do produto):
Mas na maioria das aplicações é mais compacto e prático manter a forma
.
Passo 8
Relações entre fluxos (esclarecimento importante para a prova): se definirmos o fluxo molar absoluto de A como
(onde
é a velocidade média das moléculas de A no referencial fixo), então a relação entre
e
(fluxo difusivo relativo a
) é
Assim a equação do passo 5 pode ser escrita também como
o que é intuitivo: variação local mais divergência do fluxo absoluto = geração. Em termos de fração molar,
e lembrando
.
Passo 9
Comentário final (dica de prova): escolha consistentemente que velocidade
está sendo usada para definir o fluxo difusivo
. Se
for a velocidade molar média
, então
, o que pode simplificar manipulações. Sempre escreva a expressão do balanço na forma que mais facilite aplicar condições de contorno e hipóteses (estado estacionário, incompressível, sem geração, etc.).