Derive equation (25-11) for component A in terms of molar units, starting with the control-volume expression for the conservation of mass.

Passo 1

O que o enunciado pede: derivar a expressão (eq. 25-11) para o componente A em unidades molares partindo da expressão de conservação de massa escrita para um volume de controle. Vou assumir que a equação final pedida é a forma diferencial local do balanço de espécies em termos de concentração molar de A, fluxos molares e taxa de geração volumétrica (forma comum em livros de transferência de massa).
Informações relevantes (supostas necessárias e que vou usar):
  • c_A = concentração molar de A (mol m ^{-3}).
  • c = concentração molar total (mol m ^{-3}), com c=\sum_i c_i.
  • y_A = fração molar de A, com y_A = c_A / c.
  • \mathbf{v} = velocidade convectiva do fluido escolhida (p. ex. velocidade molar média ou velocidade do fluido; mais abaixo explicito convenções).
  • \mathbf{J}_A = fluxo difusivo molar de A relativo à velocidade \mathbf{v} (unidade mol m ^{-2} s ^{-1}).
  • \dot r_A = taxa volumétrica de produção de A por reação (mol m ^{-3} s ^{-1}).
  • Vou partir da forma integral (controle de massa para o volume de controle) e aplicar teoremas usuais para obter a forma diferencial.

Passo 2

Escrevendo o balanço integral de mols de A no volume de controle (CV), com a convectiva e a difusiva atravessando a superfície de controle (CS), e com geração volumétrica interna:
\frac{d}{dt}\int_{CV} c_A\, dV = -\int_{CS} c_A\, \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\, dA - \int_{CS} \mathbf{J}_A\cdot\mathbf{n}\, dA + \int_{CV} \dot r_A\, dV.
Aqui expliquei cada termo: o lado esquerdo é a variação no número de mols de A dentro do CV; o primeiro integral do lado direito é o fluxo convectivo líquido de A para fora; o segundo é o fluxo difusivo líquido de A para fora; o terceiro é a fonte interna por reação.

Passo 3

Aplicando o teorema da divergência (Gauss) aos termos de superfície para transformá‑los em integrais de volume:
\int_{CS} c_A\, \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\, dA = \int_{CV} \nabla\cdot(c_A\mathbf{v})\, dV, \qquad \int_{CS} \mathbf{J}_A\cdot\mathbf{n}\, dA = \int_{CV} \nabla\cdot\mathbf{J}_A\, dV.
Substituindo na equação do passo anterior:
\frac{d}{dt}\int_{CV} c_A\, dV = -\int_{CV} \nabla\cdot(c_A\mathbf{v})\, dV - \int_{CV} \nabla\cdot\mathbf{J}_A\, dV + \int_{CV} \dot r_A\, dV.

Passo 4

Trazendo tudo para um mesmo integrando sobre o CV e usando que o CV é arbitrário, podemos aplicar a forma local. Antes, usar a regra de transporte de Reynolds (ou colocar a derivada no integrando) dá:
\int_{CV} \frac{\partial c_A}{\partial t}\, dV + \int_{CV} \nabla\cdot(c_A\mathbf{v})\, dV + \int_{CV} \nabla\cdot\mathbf{J}_A\, dV = \int_{CV} \dot r_A\, dV.
Como o volume de controle é arbitrário, os integrandos devem ser iguais ponto a ponto, daí a forma diferencial local do balanço de espécies:
\frac{\partial c_A}{\partial t} + \nabla\cdot(c_A\mathbf{v}) + \nabla\cdot\mathbf{J}_A = \dot r_A.

Passo 5

Reescrevendo de forma compacta, agrupando os termos de transporte convectivo e difusivo:
\frac{\partial c_A}{\partial t} + \nabla\cdot\bigl(c_A\mathbf{v} + \mathbf{J}_A\bigr) = \dot r_A.
Comentário didático: essa é a equação de continuidade para a espécie A em unidades molares. O termo c_A\mathbf{v} representa o transporte advectivo (mols por unidade área por tempo devido ao movimento do fluido) e \mathbf{J}_A é o transporte relativo (difusão) de A em relação à velocidade de referência \mathbf{v}. A soma c_A\mathbf{v} + \mathbf{J}_A é o fluxo total molar de A no referencial fixo.

Passo 6

Agora queremos a mesma equação escrita em termos de fração molar y_A e da concentração total c. Usamos a definição
c_A = c\, y_A.
Substituindo em \frac{\partial c_A}{\partial t} e no termo convectivo:
\frac{\partial (c y_A)}{\partial t} + \nabla\cdot\bigl(c y_A \mathbf{v} + \mathbf{J}_A\bigr) = \dot r_A.

Passo 7

Expandindo o termo temporal e o divergente para ver formas alternativas (útil na prova saber manipular):
  • Derivada temporal do produto:
\frac{\partial (c y_A)}{\partial t} = y_A\frac{\partial c}{\partial t} + c\frac{\partial y_A}{\partial t}.
  • Divergente do termo convectivo (regra do produto):
\nabla\cdot(c y_A \mathbf{v}) = y_A\,\nabla\cdot(c\mathbf{v}) + c\mathbf{v}\cdot\nabla y_A.
Mas na maioria das aplicações é mais compacto e prático manter a forma \frac{\partial (c y_A)}{\partial t} + \nabla\cdot(c y_A\mathbf{v} + \mathbf{J}_A)=\dot r_A.

Passo 8

Relações entre fluxos (esclarecimento importante para a prova): se definirmos o fluxo molar absoluto de A como \mathbf{N}_A = c_A \mathbf{v}_A (onde \mathbf{v}_A é a velocidade média das moléculas de A no referencial fixo), então a relação entre \mathbf{N}_A e \mathbf{J}_A (fluxo difusivo relativo a \mathbf{v}) é
\mathbf{J}_A = \mathbf{N}_A - c_A\mathbf{v}.
Assim a equação do passo 5 pode ser escrita também como
\frac{\partial c_A}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{N}_A = \dot r_A,
o que é intuitivo: variação local mais divergência do fluxo absoluto = geração. Em termos de fração molar,
\frac{\partial (c y_A)}{\partial t} + \nabla\cdot\bigl(\mathbf{N}_A\bigr) = \dot r_A,
e lembrando \mathbf{N}_A = c y_A \mathbf{v} + \mathbf{J}_A.

Passo 9

Comentário final (dica de prova): escolha consistentemente que velocidade \mathbf{v} está sendo usada para definir o fluxo difusivo \mathbf{J}_A. Se \mathbf{v} for a velocidade molar média \mathbf{v}^m=\sum y_i\mathbf{v}_i, então \sum \mathbf{J}_i = \mathbf{0}, o que pode simplificar manipulações. Sempre escreva a expressão do balanço na forma que mais facilite aplicar condições de contorno e hipóteses (estado estacionário, incompressível, sem geração, etc.).

Resposta

\frac{\partial (c y_A)}{\partial t} + \nabla\cdot\bigl(c y_A \mathbf{v} + \mathbf{J}_A\bigr) = \dot r_A.

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