Mostre que o conjunto das matrizes do tipo com a in R constitui um subgrupo do grupo multiplicativo G L2(R) das matrizes reais e inversíveis do tipo 2 times 2.
Passo 1
O enunciado define
H = l,cos a & sen a -sen a & cos amid ainRr
como conjunto de matrizes em GL2(R) (o grupo das matrizes 2times2 inversíveis). Para mostrar que H é um subgrupo de GL2(R), precisamos verificar três propriedades:
H não é vazio e contém a matriz identidade.
H é fechado sob multiplicação de matrizes.
Todo elemento de H tem inverso em H.
Passo 2
Verificamos que a matriz identidade de pertence a . Basta tomar , pois
logo
Então a identidade está em , mostrando que .
Passo 3
Mostramos a fechamento sob multiplicação. Sejam
A(a)=cos a & sen a -sen a & cos a e A(b)=cos b & sen b -sen b & cos b,
então
A(a),A(b) = cos acos b - sen a,(-sen b) & cos asen b + sen acos b -sen acos b - cos a,sen b & -sen a,sen b + cos acos b = cos(a+b) & sen(a+b) -sen(a+b) & cos(a+b) = A(a+b)
Como a+binR, segue que A(a)A(b)in H.
Passo 4
Mostramos que todo elemento de H tem inverso em H. Para
A(a)=cos a & sen a -sen a & cos a,
observamos pela propriedade acima que
A(a),A(-a)=A(a+(-a))=A(0)=I
Assim A(a)^-1=A(-a) e, como -ainR, o inverso pertence a H.
Resposta
O conjunto H satisfaz as propriedades de conter a identidade, ser fechado sob produto e conter o inverso de cada elemento; logo, H é um subgrupo de GL2(R).